Задача 28 — условия возврата кредита

Условие

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$.

Решение

Пусть сумма кредита равна S. По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшиться до нуля равномерно, то есть 19 раз на одну и ту же величину $\frac{S}{19}$ :

$\ \left( S-\frac{S}{19} \right),\left( \frac{18S}{19}-\frac{S}{19} \right),...,\left( \frac{3S}{19}-\frac{S}{19} \right),\left( \frac{2S}{19}-\frac{S}{19} \right),\left( \frac{S}{19}-\frac{S}{19} \right),0.$

Первого числа каждого месяца долг возрастает на $r$% Пусть коэффициент увеличения равен $k=1+\frac{r}{100}$, тогда последовательность размеров долга на 1-ое число каждого месяца (вместе с процентами) такова:

\[kS,\ k\frac{18S}{19},...,k\frac{2S}{19},\ k\frac{S}{19}.\]

Значит со 2-го по 14-ое число при выплате части долга, размер выплаты $x$ в первый раз получим как разность $kS-x=S-\frac{S}{19};$

\[x=kS-S+\frac{S}{19};\]

\[x=(k-1)S+\frac{S}{19};\]

Во второй раз выплата $x$ получится так же: $k\frac{18S}{19}-x=\frac{18S}{19}-\frac{S}{19};$

\[x=k\frac{18S}{19}-\frac{18S}{19}+\frac{S}{19};\]

$x=\frac{18S(k-1)+S}{19}$и так далее.

Следовательно, все выплаты должны быть следующими:

\[\left( k-1 \right)S+\frac{S}{19},\ \frac{18S\left( k-1 \right)+S}{19},...,\frac{2S\left( k-1 \right)+S}{19},\ \frac{S\left( k-1 \right)+S}{19}.\]

Всеговсуммеследуетвыплатить

\[\frac{S}{19}\cdot 19+S\left( k-1 \right)\left( 1+\frac{18}{19}+...+\frac{2}{19}+\frac{1}{19} \right)=S+S(k-1)\cdot 10;\]

Общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, поэтому

\[\frac{S+S(k-1))\cdot 10-S}{S}=0,3;\]

\[10(k-1)=0,3;\]

$k=1,03$, а так как $k=1+\frac{r}{100}$, то $r=3%$.

Примечание Дмитрия Гущина

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на $n$ платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма $S$, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты $P$ и полная величина выплат $V$ за всё время выплаты кредита даются формулами

\[\text{P}=\frac{r}{100}\cdot \frac{n+1}{2}S,\ \text{V}=S+\text{}=S\left( 1+\frac{r\left( n+1 \right)}{200} \right).\]

В условиях нашей задачи получаем: $\frac{r\left( n+1 \right)}{200}S=0,3S$, откуда для $n=19$ устно находим $r=3$.

Доказательство формул, например, немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на $n$ месяцев и использования формулы суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии.

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
  5. Задачи B6 с монетами
  6. Задача B5: площадь кольца