Задача 26 — вклад в банке

Условие

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом $11\frac{1}{9}$% и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на $104\frac{1}{6}$%. Определите срок хранения вклада.

Решение

Известно:

1. Проценты на вклад начислялись ежемесячно.

2. Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.

Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась $k$ месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в $\frac{100+5}{100}=1+5\cdot 0,01$раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.

При изменении процентной надбавки с 5% на 12% (пусть ставка 12% продержалась $m$ месяцев) первоначальная сумма вклада за $(k+m)$ месяцев увеличится в ${{(1+0,05)}^{k}}{{(1+0,12)}^{m}}={{\left( \frac{21}{20} \right)}^{k}}{{\left( \frac{28}{25} \right)}^{m}}$ раз.

Предположим, что процентная ставка $11\frac{1}{9}$ продержалась $n$ месяцев, а процентная ставка 12,5 продержалась $~t$ месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят:

${{\left( 1+\frac{100}{9}\cdot 0,01 \right)}^{n}}={{\left( \frac{10}{9} \right)}^{n}}$ и ${{(1+12,5\cdot 0,01)}^{t}}={{\left( \frac{9}{8} \right)}^{t}}.$

Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит:

\[{{\left( \frac{21}{20} \right)}^{k}}{{\left( \frac{28}{25} \right)}^{m}}{{\left( \frac{10}{9} \right)}^{n}}{{\left( \frac{9}{8} \right)}^{t}}=\frac{{{3}^{k}}\cdot {{7}^{k}}\cdot {{2}^{2m}}\cdot {{7}^{m}}\cdot {{2}^{n}}\cdot {{5}^{n}}\cdot {{3}^{2t}}}{{{2}^{2k}}\cdot {{5}^{k}}\cdot {{5}^{2m}}\cdot {{3}^{2n}}\cdot {{2}^{3t}}}=\]

\[=\frac{{{2}^{2m+n}}\cdot {{3}^{k+2t}}\cdot {{5}^{n}}\cdot {{7}^{k+m}}}{{{2}^{2k+3t}}\cdot {{3}^{2n}}\cdot {{5}^{k+2m}}}.\]

Это — с одной стороны. Но с другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на $104\frac{1}{6}$%, то есть в

\[\left( 1+\frac{625\cdot 0,01}{6} \right)=\left( \frac{6+6,25}{6} \right)=\frac{12,25}{6}=\frac{1225}{600}=\frac{49}{24}=\frac{{{7}^{2}}}{{{2}^{3}}\cdot 3}\text{(раз)}.\]

Значит,

\[\frac{{{2}^{2m+n}}\cdot {{3}^{k+2t}}\cdot {{5}^{n}}\cdot {{7}^{k+m}}}{{{2}^{2k+3t}}\cdot {{3}^{2n}}\cdot {{5}^{k+2m}}}=\frac{{{7}^{2}}}{{{2}^{3}}\cdot 3};\]

\[{{2}^{2m+n-2k-3t}}\cdot {{3}^{k+2t-2n}}\cdot {{5}^{n-k-2m}}\cdot {{7}^{k+m}}={{2}^{-3}}\cdot {{3}^{-1}}\cdot {{5}^{0}}\cdot {{7}^{2}};\]

Согласно основной теореме арифметики, каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:

\[\left\{ \begin{align}& 2m+n-2k-3t=-3, \\ & k+2t-2n=-1, \\ & n-k-2m=0, \\ & k+m=2. \\ \end{align} \right.\]

Решим эту систему относительно натуральных $~k$, $m$, $n$ и $t$.

Из последнего уравнения системы имеем: $ ~k=m=\text{ }1$. При этих значениях $k$ и $m$ система примет вид (для нахождения значений двух переменных достаточно двух уравнений):

\[\left\{ \begin{align}& 2+n-2-3t=-3, \\ & 1+2t-2n=-1; \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& n-3t=-3, \\ & 2t-2n=-2; \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& n-3t=-3, \\ & t-n=-1; \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& -2t=-4, \\ & t=n-1; \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& t=2, \\ & n=t+1; \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& t=2, \\ & n=3. \\ \end{align} \right.\]

Итак, $k+m+n+t=1+1+3+2=7$, то есть вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях $k,$ $m,$ $n$ и $t$ и значение $n-k-2m$ действительно равно нулю.

Правильный ответ

7

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Формула полной вероятности
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 11 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 6 вариант
  6. Семинар: ЕГЭ по математике, задачи B3 на площади