Задача 22 — количество сплава

Условие

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение

$\text{ Человеко-час }=\text{ Кол-во работников }\cdot\text{ Кол-во часов на рабочем месте } $. Следовательно, если во второй области ${{a}^{2}}=$ Кол-во работников * 10, то кол-во работников = $\frac{{{a}^{2}}}{10}$ и они добывают за 10 ч $a$кг металла.

АлюминийНикель
Кол-во рабочих, челКол-во металла за смену (10 ч), кгКол-во рабочих, челКол-во металла за смену (10 ч), кг
Область 1$x$ $(x\ge 0)$ $10\cdot 0,3\cdot x$ $100-x$ $10\cdot 0,1\cdot (100-x)$
Область 2$\frac{{{a}^{2}}}{10}$ $a$ $\frac{{{b}^{2}}}{10}$ $b$
Всего$3x+\text{ }a$ $100-x+b$

Заметим, что $\frac{{{a}^{2}}}{10}+\frac{{{b}^{2}}}{10}=100$, откуда $b=\sqrt{1000-{{a}^{2}}}$.

Поскольку никель и алюминий в сплаве взяты в отношении 1:1, то $3x+\text{ }a=100-x+b$, откуда

\[x=\frac{100-a+b}{4} (*)\]

Пусть $f$ кг — масса сплава, она в 2 раза больше массы никеля: $f=2(100-x+b)$. Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него$(*)$ и $b=\sqrt{1000-{{a}^{2}}}$:

\[f=2\left( 100-\frac{100-a+b}{4}+b \right);\]

\[f=200-50+\frac{a}{2}-\frac{b}{2}+2b;\]

\[f=150+\frac{a}{2}+\frac{3b}{2};\]

\[f=150+\frac{a}{2}+\frac{3}{2}\sqrt{1000-{{a}^{2}}};\]

\[{f}'=\frac{1}{2}-\frac{3a}{2\sqrt{1000-{{a}^{2}}}};\]

${f}'=0$ при $\sqrt{1000-{{a}^{2}}}=3a;$ $10{{a}^{2}}=1000;$ $a=10$, таккак $0\le a\le \sqrt{1000}$.

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.

Далее имеем: $a=10,$ $b=\sqrt{1000-{{10}^{2}}}=30,$ $x=\frac{100-10+30}{4}=30,$ $f\left( 10 \right)=2(100-x+b)=2(100-30+30)=200$ кг. Это означает, что 30 рабочих первой области и 10 из второй должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они добудут 90 + 10 = 100 кг алюминия, оставшиеся 70 рабочих первой области и 90 рабочих второй области должны быть заняты на добыче никеля, за сутки они добудут 70 + 30 = 100 кг никеля. Из добытых металлов будет произведено 200 кг сплава.

Правильный ответ

200

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 5 (без производных)
  5. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
  6. Наибольшее и наименьшее значение