Задача 21 — добыча металлов

Условие

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется ${{x}^{2}}$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется ${{y}^{2}}$ человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение

$\text{ Человеко-час }=\text{ Кол-во работников }\cdot\text{ Кол-во часов на рабочих местах } $. Следовательно, во второй области ${{a}^{2}}=$ Кол-во работников10, откуда кол-во работников = $\frac{{{a}^{2}}}{10}$.

АлюминийНикель
Кол-во рабочих, челКол-во металла за смену (10 ч), кгКол-во рабочих, челКол-во металла за смену (10 ч), кг
Область 1$x$ $(x\ge 0)$ $10\cdot 0,1\cdot x$ $20-x$ $10\cdot 0,1\cdot (20-x)$
Область 2$\frac{{{a}^{2}}}{10}$ $a$ $\frac{{{b}^{2}}}{10}$ $b$
Всего$x+\text{ }a$ $20-x+b$

Заметим, что $\frac{{{b}^{2}}}{10}=20-\frac{{{a}^{2}}}{10}$, откуда $b=\sqrt{200-{{a}^{2}}}$.

Поскольку алюминия необходимо добывать втрое больше никеля, имеем:

\[x+a=3(20-x+b);\]

\[x=\frac{60+3b-a}{4}; (*)\]

Пусть $f$ кг — масса сплава, она в 4 раза больше массы никеля: $f=4(20-x+b)$. Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него $(*)$ и $b=\sqrt{200-{{a}^{2}}}$:

\[f=4\left( 20-\frac{60+3b-a}{4}+b \right);\]

\[f=20+b+a;\]

\[f=20+\sqrt{200-{{a}^{2}}}+a;\]

\[{f}'=1-\frac{a}{\sqrt{200-{{a}^{2}}}};\]

${f}'=0$ при $\sqrt{200-{{a}^{2}}}=a;$ $a=10$, таккак $0< a< \sqrt{200}$.

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.

\[f(10)=20+\sqrt{200-{{10}^{2}}}+10=40.\]

Так как при этом $x=20$, $b=10$, то все рабочие первой области должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они произведут его 20 кг, а рабочие второй области бригадами по 10 и 10 человек должны быть заняты на добыче алюминия и никеля, они добудут их по 10 кг. Всего будет добыто 30 кг алюминия и 10 кг никеля, из них будет произведено 40 кг сплава.

Правильный ответ

40

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Радианная и градусная мера угла
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Семинар: ЕГЭ по математике, задачи B3 на площади