Задача 2 — два класса

Условие

В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение

Решение 1

Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю мальчиков ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждый мальчик в классе из 22 человек составляет 1/22 от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 21 человек ― 1/21 от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из меньшего класса и мальчика из большего, суммарный процент мальчиков вырастет $\left( \frac{1}{22}< \frac{1}{21} \right)$. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из мальчиков, а в большем классе ― 20 девочек и 2 мальчика.

Решение 2

Пусть в меньший класс распределено х мальчиков (где $1\le x\le 21$, так как их не может быть ноль, поскольку в противном случае в большем классе будет 23 человека, хотя всего там 22), тогда в больший класс попало 23 – x мальчиков. Значит, суммарная доля мальчиков в двух классах равна $\frac{x}{21}+\frac{23-x}{22}=\frac{x}{21}-\frac{x}{22}+\frac{23}{22}=\frac{x}{462}+\frac{23}{22}$ и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом $k=\frac{1}{462}$. Значит, эта функция возрастает и достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [1; 21], то есть при x = 21. Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из мальчиков, а в большем классе должно быть 20 девочек и $23-21=2$ мальчика.

Правильный ответ

В одном классе ― 21 мальчик, в другом ― 20 девочек и 2 мальчика.

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Метод Гаусса
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 6 (без производных)
  5. Как решать задачи про смеси и сплавы
  6. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения