Задача 18 — две шахты

Условие

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение

Пусть в первой шахте $x$ рабочих, а во второй шахте $~y$ рабочих заняты на добыче алюминия $(x,y\ge 0)$. Составим таблицу по данным задачи.

АлюминийНикель
Кол-во рабочих, челКол-во металла за смену (5 ч), кгКол-во рабочих, челКол-во металла за смену (5 ч), кг
Шахта 1\[x\] $5\cdot 1\cdot x$ $20-x$ $5\cdot 2\cdot (20-x)$
Шахта 2\[y\] $5\cdot 2\cdot y$ $100-y$ $5\cdot 1\cdot (100-y)$
Всего$5x+10y$$700-10x-5y$

Поскольку алюминия необходимо добывать вдвое больше никеля, имеем:

\[5x+10y=2\left( 700-10x-5y \right);\]

\[25x=1400-20y;\]

\[5x=280-4y.\ \ \ (*)\]

При условии $x,y\ge 0$ получим: $280-4y\ge 0;$ $0\le y\le 70$.

Пусть s — масса сплава, она втрое больше массы добытого никеля: $s=3\left( 700-10x-5y \right)$. Найдем наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него $(*)$:

\[s=3\left( 700-10x-5y \right)=3\left( 700-2\left( 280-4y \right)-5y \right)=3\left( 140+3y \right)\].

Наибольшее возможное значение $s$ получим при наибольшем значении $y$. Из $(*)$ ясно, что наибольшее возможное $y$ равно 70, при этом $x=0$, $s=3\left( 140+3\cdot 70 \right)=1050$. Это означает, что 70 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче алюминия, а оставшиеся 30 рабочих второй шахты и все 20 рабочих первой шахты и должны быть заняты на добыче никеля. При этом они добудут 700 кг алюминия и 350 кг никеля, а масса сплава будет равна 1050 кг.

Правильный ответ

1050 кг

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
  5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
  6. Задачи на проценты: стандартный расчет с помощью пропорций