Задача 17 — покупка здания

Условие

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в стуки, а номер «люкс» — 5000 рублей в стуки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в стуки на своем отеле предприниматель?

Решение

Предположим, что в отеле $x$ стандартных номеров и $y$ номеров типа «люкс». В сумме по площади они должны покрывать пространство в 940 м2. Это можно записать в виде уравнения

\[30x+40y=940;\]

\[3x+4y=94.\]

Очевидно, что максимальная прибыль будет получена, если вся площадь будет использована под номера без остатка. Это условие можно записать в виде

\[x=\frac{94-4y}{3}\]

и

\[94-4y\ge 3.\]

Числитель должен быть больше знаменателя, иначе значение $x$ будет дробным и не вся площадь будет использована под номера.

Из последнего неравенства имеем

\[4y\le 91;\]

\[y\le \frac{91}{4}.\]

Так как $y$ — это число номеров, то оно может принимать значения 1,2,...,22. При этом, если $y=1$, то $x\text{ }=30$, а если $y=22$, то $x=2$. Для определения наибольшего дохода достаточно рассмотреть эти два крайних варианта. В первом случае размер дохода составит

\[22\cdot 5000+2\cdot 4000=118000\],

а во втором

\[30\cdot 4000+5000=125000.\]

Правильный ответ

125 000

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Радианная и градусная мера угла
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 5 вариант
  6. Задача B5: площадь закрашенного сектора