Задача 16 — прибыль от отеля

Условие

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение

Пусть в отеле будет $x$ номеров площадью 27 кв. м и $y$ номеров площадью 45 кв. м$(x,y\in Z;x,y\ge 0)$. Тогда $27x+45y\le 981$ или $3x+5y\le 109$ (*). Прибыль, которую будут приносить эти номера в сутки, равна $2000x+4000y$ или $2000\left( x+2y \right)$. Прибыль будет наибольшей при наибольшем значении суммы $x+2y$. Пусть $s=x+2y$, тогда $x=s-2y$, откуда, подставляя в (*), получаем:

\[3\left( s-2y \right)+5y\le 109;\]

\[3s\le y+109.\]

В случае равенства $3s=y+109$ наибольшему значению суммы $s$ соответствовало бы наибольшее значение величины $y$. В случае неравенства необходимо найти наибольшее возможное значение $y$ и проверить меньшие значения, уменьшающие количество пустого пространства.

Наибольшее возможное значение $y$ равно 21. Поскольку $981=45\cdot 21+36$, для получения наибольшей прибыли в гостинице необходимо открыть 21 номер люкс и 1 стандартный номер, которые будут приносить предпринимателю доход $2000\left( 1+2\cdot 21 \right)=86000$ руб. в сутки. При этом останется 9 кв. м. незанятого пространства. Уменьшим на 1 количество люксов. Если в гостинице 20 люксов и 3 стандартных номера, незанятого пространства не остается: $981=27\cdot 3+45\cdot 20$. В этом случае доход тот же $2000\cdot 3+4000\cdot 20=86000$ руб. Дальнейшее уменьшение количества люксов в пользу стандартных номеров приведет к уменьшению прибыли. Тем самым, в отеле должно быть как можно больше номеров площадью 45 кв. м.

Правильный ответ

86 000 руб.

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
  5. Метод узлов в задаче B5
  6. Сложные задачи на проценты