Задача 15 — доход фермера

Условие

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение

Площадь картофеля, гаПлощадь свеклы, гаУрожай картофеля, цУрожай свеклы, цСтоимость картофеля, рубСтоимость свеклы, руб
I поле$x$ $(0\le x\le 10)$ $10-x$ $500x$ $300(10-x)$ $5000\cdot 500x$ $8000\cdot 300(10-x)$
II поле$y$ $(0\le y\le 10)$ $10-y$ $300y$ $500(10-y)$ $5000\cdot 300y$ $8000\cdot 500(10-y)$
I+II$5000(500x+300y)+$$+8000(3000-300x+5000-500y)$

Обозначим прибыль

\[s=5000(500x+300y)+8000(3000-300x+5000-500y)=\]

\[=100000x-2500000y+64000000.\]

Прибыль будет наибольшей, если $x$ принимает наибольшее возможное значение, а $y$ — наименьшее возможное значение, то есть $x=10, y=0$ и $s=100000\cdot 10+64000000$ (руб).

Другое решение

Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход $10\text{ га}\cdot 500\text{ ц/га}\cdot 8000\text{ руб/ц}=40\text{ млн руб. }$

На первом более урожайность свеклы составляет $300:500=0,6$ урожайности картофеля, а стоимость свеклы $8000:5000=1,6$ стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать свеклу невыгодно: потери от меньшей урожайности не компенсируются более высокой выручкой. Следовательно, все поле следует засеять картофелем, он принесет доход $10\text{ га}\cdot 500\text{ ц/га}\cdot 5000\text{ руб/ц}=25\text{ млн руб. }$.

Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен 65 млн руб.

Правильный ответ

65 млн руб.

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
  4. Теорема Виета
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 2 вариант
  6. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности