Задача 14 — продажа яблок

Условие

Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта — по 30 руб., третьего сорта — по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?

Решение

Пусть x кг — масса яблок 1-го сорта, y кг — масса яблок 2-го сорта, оставшиеся 91 − (x + у) кг — масса яблок 3-го сорта $(y >0,x >0)$. Для величины выручки имеем:

\[40x+30y+20\cdot \left( 91-x-y \right)=2170;\]

\[2x+y=35\];

откуда $y=35-2x$ (*) и так как $y >0,x >0$, то $35-2x >0$, $0< x< 17,5.$

Поскольку масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта имеем:

\[\frac{y-x}{y}=\frac{91-(x+y)-y}{91-(x+y)};\]

\[1-\frac{x}{y}=1-\frac{y}{91-(x+y)};\]

\[\frac{x}{y}=\frac{y}{91-\left( x+y \right)}.\]

Подставим условие (*) в полученную пропорцию и решим ее:

\[\frac{x}{35-2x}=\frac{35-2x}{x+56};\]

\[x\left( x+56 \right)={{\left( 35-2x \right)}^{2}};\]

\[3{{x}^{2}}-196x+1225=0;\]

\[\left\{ \begin{align}& \left[ \begin{align}& x=7, \\ & x=\frac{175}{3}, \\ \end{align} \right. \\ & 0< x< 17,5; \\ \end{align} \right.\]

\[x=7\].

Тем самым, садовод продал 7 кг яблок первого сорта и, следовательно, 35 − 14 = 21 кг яблок второго сорта.

Правильный ответ

21

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №8
  4. Решение задач B1: № 1—16
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 8 вариант
  6. Задача B5: вычисление площади методом обводки