Задача 13 — строительство завода

Условие

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5{{x}^{2}}+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-\left( 0,5{{x}^{2}}+2x+6 \right)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Решение

Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн руб. необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн руб., то есть, чтобы выполнялось неравенство

\[px-\left( 0,5{{x}^{2}}+2x+6 \right)\ge 26,\]

\[x\in N\]

откуда, используянеравенство$\left( \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} \right)$ междусреднимарифметическим $\left( \frac{a+b}{2} \right)$ исреднимгеометрическим $(\sqrt{ab})$, получаем: $p\ge \frac{0,5{{x}^{2}}+2x+32}{x};$

\[p\ge 0,5x+\frac{32}{x}+2;\]

\[p\ge 2\sqrt{0,5x\cdot \frac{32}{x}}+2;\]

\[p\ge 2\sqrt{16}+2;\]

\[p\ge 10.\]

Тем самым, искомое наименьшее значение параметра равно 10.

Правильный ответ

10

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 6 (без производных)
  5. Как решать задачи про смеси и сплавы
  6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора