Задача 10 — оплата труда рабочих

Условие

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудится суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они $2t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $5t$ единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение

Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся ${{x}^{2}}$часов, и производят тогда $2x$ единиц товара, а на заводе, расположенном во втором городе, трудятся ${{y}^{2}}$ часов и производят $5y$ единиц товара $(x,y\in Z,x,y\ge 0)$. Тогда в неделю будет произведено $2x+5y$ единиц товара, а затраты на оплату труда составят $500\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ рублей. В этом случае нужно найти наименьшее значение $500\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ при условии $2x+5y=580$. Выразим $y$ через $x$:

$y=\frac{580-2x}{5}$, где $580-2x\ge 0,$ то есть $0\le x\le 290$.

Таким образом, нам нужно найти наименьшее значение функции

\[S\left( x \right)=500\left( {{x}^{2}}+{{\left( \frac{580-2x}{5} \right)}^{2}} \right)\]

при $0\le x\le 290$.

После преобразования получаем:

\[S(x)=500{{x}^{2}}+20{{(580-2x)}^{2}};\]

\[S\left( x \right)=20\left( 29{{x}^{2}}-2320x+336400 \right)\].

Наименьшее значение квадратного трёхчлена $29{{x}^{2}}-2320x+336400$ достигается в вершине параболы ($29 >0$ ), то есть при $x=\frac{2320}{2\cdot 29}=40$,

причём $40\in \left[ 0;290 \right]$.

При этом значении получаем:

\[S\left( 40 \right)=20(29\cdot 1600-2320\cdot 40+336400)=\]

\[=20\cdot 40(29\cdot 40-2320+8410)=5800000.\]

Правильный ответ

5 800 000

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Решение задач B1: № 1—16
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 6 вариант
  6. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня