Метод Гаусса

27 июня 2011

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Элементарные преобразования системы уравнений — это:

  1. Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
  2. Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
  3. Прибавление к любому i-му уравнению любого j-то уравнения, умноженного на любое число.

Переменная xi называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

  1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная xi входит с коэффициентом 1;
  2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной xi в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной xi, и равносильную исходной;
  3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
  4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

  1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
  2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:

Задача. Решить систему уравнений:

Система линейных уравнений

Решение:

Решение совместной и определенной системы уравнений

Описание шагов:

  1. Вычитаем первое уравнение из второго и третьего — получим разрешенную переменную x1;
  2. Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) — получим два уравнения, в которых переменная x2 входит с коэффициентом 1;
  3. Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего — вычитаем. Получим разрешенную переменную x2;
  4. Наконец, вычитаем третье уравнение из первого — получаем разрешенную переменную x3;
  5. Получили разрешенную систему, записываем ответ.

Общее решение совместной системы линейных уравнений — это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.

Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k (k — это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l < k, может быть две:

  1. После l-го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером (l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена — даже на несколько шагов раньше.
  2. После l-го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.

Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса — это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l-го шага не может остаться тривиальных уравнений — все они вычеркиваются прямо в процессе.

Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:

Несовместная система линейных уравнений

Решение:

Доказательство несовместности

Описание шагов:

  1. Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему — получим разрешенную переменную x1;
  2. Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго — получим противоречивое уравнение 0 = −5.

Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.

Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:

Неопределенная система линейных уравнений

Решение:

Нахождение общего решения

Описание шагов:

  1. Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего — получим разрешенную переменную x1;
  2. Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
  3. Вычитаем из первого уравнения второе — получим разрешенную переменную x2. Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
  4. Поскольку переменные x3 и x4 — свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.

Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных (x1 и x2) и две свободных (x3 и x4).

Смотрите также:
  1. Работа с формулами в задаче B12
  2. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  3. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
  4. Сложные логарифмические неравенства
  5. Сложные задачи на проценты