Задача B14: смеси и сплавы

19 мая 2012

Многие ученики ненавидят эту задачу и даже не пытаются ее решать. И совершенно зря, потому что смеси и сплавы — одни из самых легких задач B14.

Для решения требуется выполнить три простых шага:

  1. Составляем таблицу, в которой указываем общую массу и массу «чистого» вещества для каждой смеси или сплава. Все данные берутся прямо из условия задачи. Например, 50 литров кислоты с концентрацией 15% — это m 0 = 50 литров общей массы и m 1 = 0,15 · 50 = 7,5 литров «чистого» вещества;
  2. Если какие-то ячейки таблицы остались не заполненными, обозначаем их переменными x, y и т.д. Чаще всего в качестве неизвестной величины выступает масса, реже — концентрация;
  3. Составить уравнения по правилу: при объединении двух смесей/сплавов их массы складываются. Другими словами, масса полученной смеси равна сумме масс исходных смесей. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ.

Если все сделать правильно, то получится одно-два линейных уравнения. Решаем их — получаем ответ. А вот фиг! После того, как решите уравнение, никогда (слышите, никогда!) не записывайте ответ. Запомните:

Прежде чем записать ответ, вернитесь к задаче и еще раз прочитайте, что требуется найти. Потому что решить уравнение — это еще не значит решить текстовую задачу.

Это правило работает для всех текстовых задач, а не только для B14. Многие ученики сосредотачиваются на решении уравнения, но совершенно забывают, что, собственно, требовалось найти. Получается, что по существу задача решена верно, а ответ — неправильный.

Задача. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?

Итак, у нас есть три вещества:

  1. 4 литра 15-процентного раствора;
  2. 6 литров 25-процентного раствора;
  3. Третий раствор с неизвестной концентрацией.

Составим таблицу:

Смесь Общая масса, кг Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (15%) 4 0,15 · 4 = 0,6
Раствор 2 (25%) 6 0,25 · 6 = 1,5
Раствор 3 x y

По условию, нам не дана ни масса нового раствора, ни масса чистого вещества в нем. Поэтому обозначим общую массу x, а массу основного вещества y.

Поскольку при смешивании все массы складываются, получаем уравнения:

4 + 6 = xx = 10;
0,6 + 1,5 = yy = 2,1.

Уравнения получились настолько простыми, что даже не пришлось составлять систему. Но это еще не ответ! В задаче требуется найти концентрацию нового раствора. Чтобы найти ее, разделим массу чистого вещества на общую массу раствора:

y : x = 2,1 : 10 = 0,21

Итак, доля чистого вещества равна 0,21. Чтобы перевести долю в проценты, умножим на сто:

0,21 · 100 = 21

Задача. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Обозначим массу 30-процентного раствора x, а массу 60-процентного раствора y. Получим таблицу:

Смесь Общая масса, кг Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (30%) x 0,3x
Раствор 2 (60%) y 0,6y
Чистая вода 10 0
Раствор 3 (50%) 10 0,5 · 10 = 5
Смесь «30% + 60% + вода» x + y + 10 0,3x + 0,6y + 0
Смесь «30% + 60% + 50%» x + y + 10 0,3x + 0,6y + 5

По условию, концентрация смеси «30% + 60% + вода» равна 36%. Получаем уравнение:

0,3x + 0,6y + 0 = 0,36 · (x + y + 10)

Аналогично, концентрация смеси «30% + 60% + 50%» равна 41%. Отсюда получаем еще одно уравнение:

0,3x + 0,6y + 5 = 0,41 · (x + y + 10)

Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго:

Решение системы уравнений в задаче B14

Теперь вспомним, что надо найти. А нужна масса 30-процентного раствора. Та самая, которую мы обозначили за x. Следовательно, x = 60 — это и есть ответ.

В заключение — два слова об уравнениях. Взгляните на задачи, приведенные выше: все уравнения — линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на смеси и сплавы считаются очень легкими.

Смотрите также:
  1. Простая задача B14 на смеси и сплавы
  2. Сложная задача B14 на смеси и сплавы
  3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  4. Радианная и градусная мера угла
  5. Общая схема решения задач B15
  6. Как решать биквадратное уравнение