Метод коэффициентов в задаче 8

8 февраля 2012

Многие задачи №8 решаются элементарно с помощью специальных приемов из высшей математики. К сожалению, эти приемы не изучаются в обычных школах. Вместо этого учеников «грузят» формулами, потому что так написано в учебниках.

Так вот: школьные формулы — брехня. И сегодня мы изучим нормальные алгоритмы. Пользуйтесь :)

Объем многогранника

Часто в задачах B10 дается многогранник и его объем. Затем многогранник растягивается или сжимается по разным направлениям. В результате получается новый многогранник, объем которого и требуется найти.

Как решать такие задачи? Прежде всего, запомните вот что:

Многогранник рассматривается в трехмерном пространстве. И все изменения происходят по одной из трех осей.

Теперь, когда в задаче написано «высота цилиндра увеличена в 2 раза, а основание уменьшено в 3 раза», это следует понимать так:

  1. Растяжение в 2 раза по оси OZ;
  2. Сжатие в 3 раза по осям OX и OY.

Обратите внимание: сжатие произошло сразу по двум осям. Ведь окружность — фигура двумерная, в отличие, например, от отрезка (который одномерен). Поэтому изменение радиуса влечет растяжение сразу «в обе стороны». Мы еще вернемся к этому факту, когда будем рассматривать реальные задачи.

А сейчас — основная теорема:

Пусть дан объем исходного многогранника Vстарый. Пусть также известны числа a, b и c — коэффициенты растяжения для осей OX, OY и OZ соответственно. Тогда объем нового многогранника Vновый рассчитывается по формуле:

Vновый = Vстарый · a · b · c

Если по какой-то оси производится сжатие многогранника, а не растяжение, то вместо умножения просто пишется деление.

В частности, если все стороны многогранника изменились в одинаковое число раз (пусть это будет n), новый объем считается так:

Vновый = Vстарый · n3

Вот так все просто. Единственная загвоздка — определить, по какой оси и во сколько раз происходит растяжение или сжатие. Но это вопрос тренировки.

Задача. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет объем 35 см3. Ребро AB увеличили в 2 раза, ребро AC — в 5 раз, а ребро AA1 уменьшили в 7 раз. Найдите объем нового параллелепипеда.

Только не надо чертить параллелепипед! Эта задача словно создана для решения описанным выше методом. Имеем:

  1. Vстарый = 35;
  2. Ось OX: растяжение в 2 раза ⇒ a = 2;
  3. Ось OY: растяжение в 5 раз ⇒ b = 5;
  4. Ось OZ: сжатие в 7 раз ⇒ c = 1/7.

Рассчитываем объем нового параллелепипеда:

Vновый = Vстарый · a · b · c = 35 · 2 · 5 : 7 = 50

Получили, что Vновый = 50 — это и есть ответ. Все!

Задача. Высоту кругового цилиндра увеличили в 4 раза, а радиус основания уменьшили в 3 раза. Найдите объем нового цилиндра, если объем исходного равен 45 м3.

По условию, нам известно:

  1. Vстарый = 45;
  2. По оси OZ идет растяжение в 4 раза, поэтому c = 4;
  3. По осям OX и OY идет сжатие в 3 раза, поэтому a = b = 1/3.

Теперь можно найти объем:

Vновый = Vстарый · a · b · c = 45 · 4 : 3 : 3 = 20

Обратите внимание, что сжатие идет сразу по двум осям: OX и OY. Ведь мы работаем с круговым цилиндром, в основании которого лежит окружность. Но окружность — объект двумерный, и чтобы сохранить пропорции, надо менять радиус по обоим измерениям. Иначе получится не окружность, а эллипс.

Задача. Бетонный шар весит 0,75 т. Сколько будет весить шар, изготовленный из того же материала, если его радиус в 2 раза больше?

Поскольку шары изготовлены из одного и того же материала, масса меняется по тому же закону, что и объем. Следовательно, работаем по формулам, приведенным выше.

  1. Vстарый = 0,75;
  2. Растяжение в 2 раза по всем осям ⇒ a = b = c = 2.

Почему растяжение по всем осям одинаково? Да очень просто: если растяжения будут разные, получится «приплюснутый» шар — в математике он называется эллипсоид. Чтобы такого не случилось, радиус меняется по всем осям.

Осталось найти ответ (по упрощенной формуле):

Vновый = Vстарый · a3 = 0,75 · 23 = 6

Задача. Высоту прямого кругового конуса увеличили в 5 раз, а радиус основания уменьшили в 3 раза. В результате получился новый конус объемом 30. Найдите объем исходного конуса.

Выписываем коэффициенты и работаем по той же самой формуле:

  1. Мы не знаем Vстарый, зато знаем Vновый = 30;
  2. Растяжение по оси OZ в 5 раз ⇒ c = 5;
  3. В основании лежит окружность, поэтому сжатие в 3 раза идет сразу по двум осям: OX и OYa = b = 1/3;

Записываем формулу объема:

Vновый = Vстарый · a · b · c
30 = Vстарый · 5 : 3 : 3
Vстарый = 30 · 3 · 3 : 5 = 54

Как видите, ничего сложного в задачах на объем нет. Просто выписываем числа и подставляем в формулу. А теперь разберемся с задачами на площади.

Площадь поверхности многогранника

Эти задачи постоянно дают на пробных экзаменах. Это значит, что в настоящем ЕГЭ по математике они тоже будут.

Чтобы найти площадь многогранника после растягивания или сжатия, используйте следующую теорему:

Когда все стороны многогранника увеличить в n раз, его площадь увеличится в n2 раз:

Sновая = Sстарая · n2

Аналогично, если все стороны сжать в n раз, площадь уменьшится в n2 раз.

Как видите, формула площадей очень похожа на частный случай формулы объемов. Разница лишь в степени:

  1. Vновый = Vстарый · n3, поскольку объем — это «трехмерная» величина. Например, объем измеряется в кубических метрах (м3);
  2. Sновая = Sстарая · n2, поскольку площадь — величина «двумерная» и измеряется в квадратных метрах (м2).

Те, кто не знает эти правила, каждый раз вспоминают формулы объема и площади. Вот только у каждого многогранника эти формулы свои, и в них легко запутаться. Короче, фу. Лучше работайте по приведенной выше теореме.

Задача. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильной пирамиды, если все ее стороны увеличить в 7 раз?

Подставляем n = 7 в формулу площади:

Sновая = Sстарая · 72Sновая = 49 · Sстарая

Итак, площадь увеличится в 49 раз — это и есть ответ.

Задача. Площадь первой сферы равна 175. Найдите площадь второй сферы, если ее радиус в 5 раз меньше радиуса первой.

Работаем по той же формуле: n = 5. Но вместо умножения будет деление, поскольку радиус уменьшается. Имеем:

Sновая = Sстарая : n2 = 175 : 52 = 175 : 25 = 7

Задача. В пространстве даны два прямых круговых конуса. У второго конуса радиус основания и высота в 3 раза больше, чем у первого. Найдите площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 324 см2.

Чтобы решить задачу, надо понять, как из первого конуса получается второй. По условию, нам известны следующие величины:

  1. n = 3 — именно во столько раз растягивается первый конус по каждой оси;
  2. Sновая = 324 — площадь второго конуса.

Подставляем эти числа в нашу формулу — получаем:

Sновая = Sстарая · n2
324 = Sстарая · 9
Sстарая = 324 : 9 = 36

Умножение на n2 (а не деление) мы берем потому, что второй конус больше первого. Полученная площадь — это и есть ответ.

Смотрите также:
  1. Как применять метод коэффициентов в сложных задачах из ЕГЭ по математике?
  2. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №2
  3. Тест на тему «Значащая часть числа»
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 3 (без логарифмов)
  5. Пример решения задачи 15
  6. Задача B2 на проценты: вычисление полной стоимости покупки