Метод коэффициентов в задаче B11

8 февраля 2012

Многие задачи B11 решаются элементарно с помощью специальных приемов из высшей математики. К сожалению, эти приемы не изучаются в обычных школах. Вместо этого учеников «грузят» формулами, потому что так написано в учебниках.

Так вот: школьные формулы — брехня. И сегодня мы изучим нормальные алгоритмы. Пользуйтесь :)

Объем многогранника

Часто в задачах B11 дается многогранник и его объем. Затем многогранник растягивается или сжимается по разным направлениям. В результате получается новый многогранник, объем которого и требуется найти.

Как решать такие задачи? Прежде всего, запомните вот что:

Многогранник рассматривается в трехмерном пространстве. И все изменения происходят по одной из трех осей.

Теперь, когда в задаче написано «высота цилиндра увеличена в 2 раза, а основание уменьшено в 3 раза», это следует понимать так:

1. Растяжение в 2 раза по оси OZ;
2. Сжатие в 3 раза по осям OX и OY.

Обратите внимание: сжатие произошло сразу по двум осям. Ведь окружность — фигура двумерная, в отличие, например, от отрезка (который одномерен). Поэтому изменение радиуса влечет растяжение сразу «в обе стороны». Мы еще вернемся к этому факту, когда будем рассматривать реальные задачи.

А сейчас — основная теорема:

Теорема

Пусть дан объем исходного многогранника V_старый. Пусть также известны числа a, b и c — коэффициенты растяжения для осей OX, OY и OZ соответственно. Тогда объем нового многогранника V_новый рассчитывается по формуле:

V_новый = V_старый · a · b · c

Если по какой-то оси производится сжатие многогранника, а не растяжение, то вместо умножения просто пишется деление.

В частности, если все стороны многогранника изменились в одинаковое число раз (пусть это будет n), новый объем считается так:

V_новый = V_старый · n³

Вот так все просто. Единственная загвоздка — определить, по какой оси и во сколько раз происходит растяжение или сжатие. Но это вопрос тренировки.

Задача [ЕГЭ 2011]

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ имеет объем 35 см³. Ребро AB увеличили в 2 раза, ребро AC — в 5 раз, а ребро AA₁ уменьшили в 7 раз. Найдите объем нового параллелепипеда.

Решение

Только не надо чертить параллелепипед! Эта задача словно создана для решения описанным выше методом. Имеем:

1. V_старый = 35;
2. Ось OX: растяжение в 2 раза ⇒ a = 2;
3. Ось OY: растяжение в 5 раз ⇒ b = 5;
4. Ось OZ: сжатие в 7 раз ⇒ c = 1/7.

Рассчитываем объем нового параллелепипеда:

V_новый = V_старый · a · b · c = 35 · 2 · 5 : 7 = 50

Получили, что V_новый = 50 — это и есть ответ. Все!

Ответ

50

Задача [Пробный ЕГЭ 2012]

Высоту кругового цилиндра увеличили в 4 раза, а радиус основания уменьшили в 3 раза. Найдите объем нового цилиндра, если объем исходного равен 45 м³.

Решение

По условию, нам известно:

1. V_старый = 45;
2. По оси OZ идет растяжение в 4 раза, поэтому c = 4;
3. По осям OX и OY идет сжатие в 3 раза, поэтому a = b = 1/3.

Теперь можно найти объем:

V_новый = V_старый · a · b · c = 45 · 4 : 3 : 3 = 20

Обратите внимание, что сжатие идет сразу по двум осям: OX и OY. Ведь мы работаем с круговым цилиндром, в основании которого лежит окружность. Но окружность — объект двумерный, и чтобы сохранить пропорции, надо менять радиус по обоим измерениям. Иначе получится не окружность, а эллипс.

Ответ

20

Задача [Демонстрационный ЕГЭ 2011]

Бетонный шар весит 0,75 т. Сколько будет весить шар, изготовленный из того же материала, если его радиус в 2 раза больше?

Решение

Поскольку шары изготовлены из одного и того же материала, масса меняется по тому же закону, что и объем. Следовательно, работаем по формулам, приведенным выше.

1. V_старый = 0,75;
2. Растяжение в 2 раза по всем осям ⇒ a = b = c = 2.

Почему растяжение по всем осям одинаково? Да очень просто: если растяжения будут разные, получится «приплюснутый» шар — в математике он называется эллипсоид. Чтобы такого не случилось, радиус меняется по всем осям.

Осталось найти ответ (по упрощенной формуле):

V_новый = V_старый · a³ = 0,75 · 2³ = 6

Ответ

6

Задача [Материалы индивидуальных занятий]

Высоту прямого кругового конуса увеличили в 5 раз, а радиус основания уменьшили в 3 раза. В результате получился новый конус объемом 30. Найдите объем исходного конуса.

Решение

Выписываем коэффициенты и работаем по той же самой формуле:

1. Мы не знаем V_старый, зато знаем V_новый = 30;
2. Растяжение по оси OZ в 5 раз ⇒ c = 5;
3. В основании лежит окружность, поэтому сжатие в  3 раза идет сразу по двум осям: OX и OY ⇒ a = b = 1/3;

Записываем формулу объема:

V_новый = V_старый · a · b · c
30 = V_старый · 5 : 3 : 3
V_старый = 30 · 3 · 3 : 5 = 54

Ответ

54

Как видите, ничего сложного в задачах на объем нет. Просто выписываем числа и подставляем в формулу. А теперь разберемся с задачами на площади.

Площадь поверхности многогранника

Эти задачи постоянно дают на пробных экзаменах. Это значит, что в настоящем ЕГЭ по математике они тоже будут.

Чтобы найти площадь многогранника после растягивания или сжатия, используйте следующую теорему:

Теорема

Когда все стороны многогранника увеличить в n раз, его площадь увеличится в n² раз:

S_новая = S_старая · n²

Аналогично, если все стороны сжать в n раз, площадь уменьшится в n² раз.

Как видите, формула площадей очень похожа на частный случай формулы объемов. Разница лишь в степени:

1. V_новый = V_старый · n³, поскольку объем — это «трехмерная» величина. Например, объем измеряется в кубических метрах (м³);
2. S_новая = S_старая · n², поскольку площадь — величина «двумерная» и измеряется в квадратных метрах (м²).

Те, кто не знает эти правила, каждый раз вспоминают формулы объема и площади. Вот только у каждого многогранника эти формулы свои, и в них легко запутаться. Короче, фу. Лучше работайте по приведенной выше теореме.

Задача [Пробный ЕГЭ 2012]

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильной пирамиды, если все ее стороны увеличить в 7 раз?

Решение

Подставляем n = 7 в формулу площади:

S_новая = S_старая · 7² ⇒ S_новая = 49 · S_старая

Итак, площадь увеличится в 49 раз — это и есть ответ.

Ответ

49

Задача [Материалы индивидуальных занятий]

Площадь первой сферы равна 175. Найдите площадь второй сферы, если ее радиус в 5 раз меньше радиуса первой.

Решение

Работаем по той же формуле: n = 5. Но вместо умножения будет деление, поскольку радиус уменьшается. Имеем:

S_новая = S_старая : n² = 175 : 5² = 175 : 25 = 7

Ответ

7

Задача [Групповая консультация по ЕГЭ]

В пространстве даны два прямых круговых конуса. У второго конуса радиус основания и высота в 3 раза больше, чем у первого. Найдите площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 324 см².

Решение

Чтобы решить задачу, надо понять, как из первого конуса получается второй. По условию, нам известны следующие величины:

1. n = 3 — именно во столько раз растягивается первый конус по каждой оси;
2. S_новая = 324 — площадь второго конуса.

Подставляем эти числа в нашу формулу — получаем:

S_новая = S_старая · n²
324 = S_старая · 9
S_старая = 324 : 9 = 36

Умножение на n² (а не деление) мы берем потому, что второй конус больше первого. Полученная площадь — это и есть ответ.

Ответ

36