Задача B5: площадь сектора

3 октября 2013

Сегодня мы научимся считать площади кругов и секторов именно в том виде, в котором они встречаются на настоящем ЕГЭ по математике. Основная проблема таких задач B5 — мы не знаем радиус. Большинство учеников просто теряются, когда обнаруживают, что окружность не проходит через узлы сетки, расположенные на горизонтальных и вертикальных диаметрах.

Однако решение есть: достаточно выбрать любую точку окружности, лежащую в узлах координатной сетки (такая точка обязательно найдется, иначе задача составлена некорректно), а затем с помощью теоремы Пифагора найти квадрат радиуса этой окружности.

Все расчеты мы будем выполнять на примере следующей задачи:

Задача. Найдите площадь S закрашенного сектора, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. В ответе укажите величину S/π.

Задача B5 на площадь сектора

В первую очередь нам потребуется формула площади круга:

S = πR2

где R — радиус нашего круга. Эту формулу надо знать наизусть. Без нее задачи B5 на площадь круга не решаются вообще.

Но есть и другая проблема. Давайте внимательно посмотрим на рисунок. Для вычисления площади круга (а затем — и сектора) нам надо знать радиус.

Ну и где же здесь радиус? Если мы проведем горизонтальную ось, то получим непонятное число на отрезке [2; 3]. Конечно, можно сказать, что это число ближе к x = 3, но чему именно равно это число, нам неизвестно. А следовательно, использовать эту примерную оценку для решения задачи мы не можем. Надо действовать как-то иначе.

Например, давайте пройдемся по нашей окружности и отметим на ней те точки, которые лежат в узлах координатной сетки. Таких точек будет 4 штуки:

4 точки в узлах сетки на окружности в задаче B5

Что дают нам эти точки? А дело в том, что мы можем точно указать, на сколько клеток эти точки отстоят от центра окружности. Например, рассмотрим точку A и центр окружности O:

Прямоугольный треугольник AOC в задаче B5

Мы видим, что точка A отстоит от точки O на 2 клетки по горизонтали и на 2 клетки по вертикали. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2. Кроме того, гипотенуза нашего прямоугольного треугольника как раз и является радиусом круга, площадь сектора в котором нам и требуется найти.

По теореме Пифагора получаем:

R2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8

Теперь мы знаем квадрат радиуса круга: R2 = 8. Следовательно, зная радиус, мы можем найти площадь всего круга. Достаточно просто подставить найденный радиус в формулу площади. Получим:

S = πR2 = π · 8 = 8π

Следующий шаг — мы должны понять, какую часть площади круга занимает закрашенный сектор. Для этого давайте схематично разделим исходный круг на 8 равных частей, как пиццу. На полученной разметке закрасим те кусочки, которые входят в состав искомого сектора. Получится вот такая картинка:

Деление круга на 8 равных частей в задаче B5

Получается, что закрашенных кусочков k = 3. При этом всего кусков было n = 8. Поскольку площади всех секторов, возникающих при «разрезании» исходного круга, одинаковы, можно найти площадь каждого из них, разделив общую площадь на 8. Затем надо умножить полученное число на 3, поскольку в искомом секторе содержится 3 таких одинаковых кусочка. Подставляем все в формулу:

Площадь сектора в задаче B5

Но это еще не все! В задаче B5 нас просят указать величину S/π. Подставляем и получаем:

3π/π = 3

Вот мы и нашли ответ. Площадь сектора, деленная на π, равна 3. Как видите, ничего сложного в этой задаче нет. Все, что от нас требуется — правильно выбирать точки на окружности (надо, чтобы они лежали в узлах координатной стеки), а затем подставлять полученные числа в теорему Пифагора.

Надеюсь, этот урок поможет тем ученикам, которым предстоит сдавать ЕГЭ по математике. Задачи на площадь секторов встречаются довольно редко, но к ним надо быть готовым, чтобы они не застали вас врасплох.

Смотрите также:
  1. Площадь круга
Дополнительно:
  1. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
  2. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
  3. Как решать биквадратное уравнение: видео
  4. Текстовые задачи про рельсы
  5. Репетитор по математике: случай из практики