Видеоурок по задачам C2: расстояние между двумя прямыми

29 ноября 2012

В этом видеоуроке я расскажу, как задача о расстоянии между двумя прямыми легко сводится к расстоянию от точки до плоскости. Но для начала напомню несколько фактов из стереометрии.

Пусть скрещивающиеся прямые AB и MN заданы своими направляющими векторами:

AB = (x1, y1, z1);
MN = (x2, y2, z2).

Поскольку прямые скрещиваются, векторы AB и MN не коллинеарны. Следовательно, на них можно построить плоскость. Точнее, множество плоскостей, каждая из которых будет параллельна прямым AB и MN.

Одна из таких плоскостей должна содержать прямую AB. Возьмем на ней произвольную точку T и построим вектор BT:

B = (xB, yB, zB);
T = (x; y; z);
BT = (xxB, yyB, zzB).

Получили три вектора: AB, MN, BT. Составим из них уравнение плоскости через определитель матрицы. При этом координаты векторов станут строчками нашей матрицы:

уравнение плоскости через определитель

Вот и все! Осталось раскрыть определитель — и уравнение плоскости готово. Эта плоскость содержит прямую AB и параллельна прямой MN. Поэтому расстояние между прямыми AB и MN будет равно расстоянию от плоскости до, скажем, точки M. А расстояние L от точки до плоскости считается по формуле:

расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением

где (x0, y0, z0) — координаты точки, Ax + By + Cz + D = 0 — уравнение плоскости.

А теперь давайте посмотрим, как все это работает на практике:

Смотрите также:
  1. Дополнительные соображения
  2. Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
  3. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
  4. Следствия из теоремы Виета
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Задача B5: площадь сектора