Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек, входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды. И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины — настоящий ад.
Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же — тетраэдр). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.
Для начала вспомним определение:
Правильная пирамида — это такая пирамида, у которой:
В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.
В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат. Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.
Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются — просто числа будут другими.
Вершины четырехугольной пирамиды
Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD,где S — вершина, основание ABCD — квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:
Вводим систему координат с началом в точке A:
Ось OX направлена параллельно ребру AB;
Ось OY — параллельно AD. Поскольку ABCD — квадрат, AB ⊥ AD;
Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD.
Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH — высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A, B, C и D лежат в плоскости OXY, их координата z = 0. Имеем:
A = (0; 0; 0) — совпадает с началом координат;
B = (1; 0; 0) — шаг на 1 по оси OX от начала координат;
C = (1; 1; 0) — шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY;
D = (0; 1; 0) — шаг только по оси OY.
H = (0,5; 0,5; 0) — центр квадрата, середина отрезка AC.
Осталось найти координаты точки S. Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ. Осталось найти координату zдля точки S.
Рассмотрим треугольники ASH и ABH:
AS = AB = 1 по условию;
Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH — высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
Сторона AH — общая.
Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABHравны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD.Но BD — диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:
Итого координаты точки S:
В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:
Что делать, когда ребра разные
А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS:
Треугольник AHS —прямоугольный, причем гипотенуза AS — это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD.Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC. Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора. Это и будет координата zдля точки S.
Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S.
Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:
Проекция точки S на плоскость OXY — это точка H;
Одновременно точка H — центр квадрата ABCD, все стороны которого равны 1.
Осталось найти координату точки S. Рассмотрим треугольник AHS. Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3,катет AH — половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:
Теорема Пифагора для треугольника AHS:AH 2 + SH 2 = AS2. Имеем:
