Четырехугольная пирамида в задаче C2

9 марта 2012

Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек, входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды. И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины — настоящий ад.

Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же — тетраэдр). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.

Для начала вспомним определение:

Правильная пирамида — это такая пирамида, у которой:

  1. В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
  2. Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.

В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат. Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.

Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются — просто числа будут другими.

Вершины четырехугольной пирамиды

Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где S вершина, основание ABCD квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:

Четырехугольная пирамида SABCD в системе координат OXYZ

Вводим систему координат с началом в точке A:

  1. Ось OX направлена параллельно ребру AB;
  2. Ось OY — параллельно AD. Поскольку ABCD квадрат, ABAD;
  3. Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD.

Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A, B, C и D лежат в плоскости OXY, их координата z = 0. Имеем:

  1. A = (0; 0; 0) — совпадает с началом координат;
  2. B = (1; 0; 0) — шаг на 1 по оси OX от начала координат;
  3. C = (1; 1; 0) — шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY;
  4. D = (0; 1; 0) — шаг только по оси OY.
  5. H = (0,5; 0,5; 0) — центр квадрата, середина отрезка AC.

Осталось найти координаты точки S. Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ. Осталось найти координату z для точки S.

Рассмотрим треугольники ASH и ABH:

  1. AS = AB = 1 по условию;
  2. Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH высота, а AHHB как диагонали квадрата;
  3. Сторона AH общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD. Но BD диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

BD - половина диагонали квадрата

Итого координаты точки S:

Координаты вершины S

В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:

Координаты всех вершин пирамиды

Что делать, когда ребра разные

А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS:

Пирамида SABCD и прямоугольный треугольник AHS

Треугольник AHS прямоугольный, причем гипотенуза AS это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD. Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC. Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора. Это и будет координата z для точки S.

Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S.

Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:

  1. Проекция точки S на плоскость OXY это точка H;
  2. Одновременно точка H — центр квадрата ABCD, все стороны которого равны 1.

Осталось найти координату точки S. Рассмотрим треугольник AHS. Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:

Длина отрезка AH

Теорема Пифагора для треугольника AHS: AH 2 + SH 2 = AS2. Имеем:

Теорема Пифагора для треугольника AHS

Итак, координаты точки S:

Координаты точки S
Смотрите также:
  1. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
  2. Введение системы координат
  3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 2 вариант
  6. Семинар: ЕГЭ по математике, задачи B3 на площади