Задача 14 — углы и отрезки в стереометрии

В задаче 14 рассматриваются многогранники, на основе которых, как правило, нужно найти одну из следующих величин:

  1. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя прямыми, которые пересекаются в одной точке и параллельны данным прямым.
  2. Угол между прямой и плоскостью — это угол между самой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
  3. Угол между двумя плоскостями — это угол между прямыми, которые лежат в данных плоскостях и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей.

Прямые всегда задаются двумя точками на поверхности или внутри многогранника, а плоскости — тремя. Сами многогранники всегда задаются длинами своих граней.

Традиционный метод решения

В школьном курсе стереометрии упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину.

Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих вызывают трудности. Существование формального алгоритма для таких построений совершенно не облегчает задачу, поскольку каждый случай достаточно уникален, а любая систематизация лишь усложняют процесс.

Именно поэтому задача 14 оценивается в два балла. Первый балл дается за правильные построения, а второй — за правильные вычисления и собственно ответ.

Преимущества традиционного решения:

  1. Высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в 10-11 классах;
  2. При правильном подходе значительно сокращается объем вычислений.

Недостатки:

  1. Необходимо знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии;
  2. Дополнительные построения каждый раз приходится придумывать «с нуля». И это может оказаться серьезной проблемой даже для хорошо подготовленных учеников.

Впрочем, если у читателя хорошее стереометрическое воображение, проблем с дополнительными построениями не возникнет. Остальным предлагаю отказаться от традиционного геометрического метода и рассмотреть более эффективный алгебраический подход. Итак, поехали!

Метод координат в задаче 14

  1. Метод координат в пространстве — о чем, собственно, идет речь. Работать будем только с векторами. Прямые и плоскости тоже заменяются векторами, поэтому никаких проблем не возникнет.
  2. Введение системы координат для многогранников. Дело в том, что в настоящей задаче 14 никаких координат не будет. Их надо вводить самостоятельно.
  3. Вычисление угла между двумя прямыми. А это уже решение конкретных задач 14. Мы научимся находить косинус угла между двумя прямыми — где бы эти прямые ни лежали.
  4. Вычисление угла между прямой и плоскостью. Во многих задачах 14 встречаются плоскости. Для любой прямой можно рассчитать синус угла между плоскостью и этой прямой. Именно синус — и только затем косинус!
  5. Вычисление угла между двумя плоскостями. Тут все просто: заменяем плоскости нормальными векторами и считаем угол между последними. Косинус угла между векторами — это и косинус угла между плоскостями.
  6. Дополнительные соображения — как можно упростить вычисления и грамотно их оформить. Все-таки №14 — это не №2, и здесь требуется привести полноценно решение задачи.
Глава 1.
Метод координат в пространстве
§ 1.
Метод координат в пространстве
§ 2.
Введение системы координат
§ 3.
Четырехугольная пирамида в задаче C2
§ 4.
Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
§ 5.
Координаты вершин правильного тетраэдра
Глава 2.
Уравнение плоскости
§ 1.
Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
§ 2.
Задача C2: уравнение плоскости через определитель
§ 3.
Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
Глава 3.
Двугранные углы и расстояния
§ 1.
Угол между двумя прямыми
§ 2.
Задача 14: Угол между плоскостями сечения
§ 3.
Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
§ 4.
C2: расстояние между двумя прямыми
§ 5.
Дополнительные соображения
§ 6.
Как найти угол между плоскостями, секущими многогранник?
§ 7.
Задание 14: Площадь сечения многогранника
§ 8.
Задание 14: периметр сечения пирамиды плоскостью
§ 9.
Задача 14 из пробного ЕГЭ 2016 от 3 марта
§ 10.
Сечения многогранников в задаче 14: что нужно знать?