Задача B13: Сечения и двугранные углы

23 января 2014

Это довольно серьезная задача B13, которую многие мои ученики решают только после подсказки или продолжительных размышлений. Основная трудность — найти на рисунке тот угол, тангенс которого нам требуется найти. Дальше все легко.:)

Задача B13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота SO равна 15, диагональ основания BD равна 10. Точки M и N — середины ребер BC и CD соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMN и плоскостью ABC.

Четырехугольная пирамида SABCD и секущая плоскость SMN в задаче B13 из ЕГЭ по математике

Для того, чтобы не путаться в двугранных углах, просто запомните:

  1. Пересечением двух плоскостей всегда является прямая линия. Вроде бы, очевидный факт, но некоторые ученики при решении реальных задач в упор не видят этого факта;
  2. Чтобы найти линейный угол двугранного угла, нужно в каждой плоскости провести перпендикуляр к линии пересечения. В результате возникнет инвариантная конструкция: такой угол не зависит от места его построения и «прямоты рук» ученика. А это — первый шаг к решению задачи.

В общем, после небольшой тренировки такую задачу освоит любой ученик, который хоть немного попытается представить картинку в трехмерном пространстве. Другими словами, сложность задач B13 (а сложные задачи там действительно встречаются) состоит не в вычислениях, а в геометрических построениях.

Смотрите также:
  1. Случай четырехугольной пирамиды
  2. Углы и отрезки в стереометрии — 2
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №8
  4. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
  6. Деление многочленов уголком