Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов

12 ноября 2013

Сегодня мы рассмотрим типичную и одновременно довольно сложную задачу B2, которая вполне может встречаться на настоящем ЕГЭ по математике. Речь идет об одной из задач на проценты. И как вы уже поняли из названия, решать ее мы будем с помощью метода коэффициентов.

В первую очередь поясню: что это за метод такой? Вообще, существует как минимум три стандартных метода решения задач на проценты:

Метод пропорций. Это когда мы обозначаем исходную величину за 100%, а требуемые в задаче k% мы обозначаем за x. Затем составляем пропорцию и решаем полученное уравнение. Этот прием хорошо знаком большинству учеников из курса школьной математики.

Второй прием также хорошо известен, но большинство школьных учителей почему-то о нем не рассказывают. Тем не менее, на страницах нашего сайта этот прием встречается постоянно. Его можно условно назвать формулой простых процентов. Если известна исходная величина x, известно ее процентное изменение k, то итоговая величина y выражается через исходную по формуле: y = x · (100 ± k) : 100, где k берется с плюсом или минусом в зависимости от того, возрастает или уменьшается исходная величина.

Сегодня же мы изучим третий прием, который следует из второго. Давайте перепишем формулу простого процента, разбив второй множитель на две отдельные дроби.

Итак, переписываем формулу простого процента в формат метода коэффициентов:

Метод коэффициентов в задачах на проценты

Эта формула удобна тем, что после небольшой тренировки ее можно применять интуитивно, практически не задумываясь. Т.е. если у нас есть какая-то исходная величина a, которая затем возрастает, скажем на 10%, то мы получим новую величину b:

b = a · (1 + 0,1) = 1,1a

Коэффициент 0,1 возникает при подстановке вместо k тех самых 10%.

Аналогично, если бы величина уменьшалась, скажем, на 30%, то новое ее значение считалось бы по той же самой формуле, но с минусом:

b = a · (1 − 0,3) = 0,7a

Вот такая, казалось бы, очевидная запись может существенно ускорить вычисления при решении реальных задач на проценты. Давайте посмотрим, как все это работает на практике:

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Гавриловна получила 31 320 рублей. Чему равна заработная плата Марии Гавриловны? Ответ дайте в рублях.

Что ж, давайте решать эту задачу. Будем решать ее третьим способом, т.е. с помощью коэффициентов. Для начала давайте еще раз посмотрим на числа, которые даны в задаче. А именно: нам известен процент, который равен 13, а также итоговое значение величины 31 320. При этом нам неизвестна исходная величина. Вот ее мы и обозначим за x.

Далее, чтобы получить итоговую величину, нужно подставить эту переменную x в формулу с коэффициентом:

x · (1 − 0,13) = 0,87x

Минус в скобке стоит потому что согласно условию задачи мы уменьшаем исходную величину на 13%. Итого новая величина равна 0,87x, что по условию равно 31 320. Составим и решим уравнение:

0,87x = 31 320

Вот, мы только что перевели задачу на язык математики. Это простейшее линейное уравнение. Давайте решим его. Для начала умножаем обе стороны на 100. Получим:

87x = 3 132 000

Осталось найти x. Делим обе стороны уравнения на 87:

x = 3 132 000 : 87 = 36 000

Поскольку числа получились довольно большие, делить их придется уголком. При этом все разделится «гладко»: мы получим число 36 000 без всяких остатков и дробных частей.

Итого мы получили, что x = 36 000. Это и есть ответ к нашей задаче. Вот такую зарплату получает Мария Гавриловна до вычета налогов.

На этом можно было бы закончить сегодняшний видеоурок, но давайте вернемся вот к этой строчке из решения:

87x = 3 132 000

Задумаемся: что означает эта строчка? Однако не с точки зрения математики, а с точки зрения жизни, т.е. для нашего персонажа. Поскольку мы только что выяснили, что зарплата Марии Гавриловны составляет 36 000 рублей в месяц, то 87x — это ее зарплата за 87 месяцев. В свою очередь, 87 месяцев — это 7 с небольшим лет работы.

Получается, что за 7 лет работы Мария Гавриловна заработает всего 3 000 000 рублей с небольшим. Вы только задумайтесь: 7 лет — и 3 000 000 рублей. Это очень мало! За такую сумму невозможно купить нормальную квартиру в любом городе-миллионнике. А ведь из этих денег еще надо вычесть расходы на еду, одежду и прочие потребности.

При этом многие, кто сейчас смотрит это видео, наверняка скажут, что зарплата 36 000 рублей — это очень даже неплохо. Но, к сожалению, даже этой «неплохой» суммы не хватает для покупки нормальной квартиры в крупном городе. Поэтому когда закончите школу, постарайтесь не устраиваться на работу, а организовать собственный бизнес. Хотя бы постарайтесь!

Иначе все, о чем я здесь рассказываю, для вас будет пустой тратой времени. Вот такие дела. Надеюсь, данный урок был для вас полезен.

А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Смотрите также:
  1. Задачи B2 на проценты: налоги и зарплата
  2. Задачи на проценты: стандартный расчет с помощью пропорций
  3. Что такое логарифм
  4. Теорема Виета
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
  6. Задача B5: метод узлов