Работа с формулами в задаче B12

13 апреля 2011

Если в задаче B12 дано уравнение, которое содержит несколько переменных, ни одна из которых не рассматривается как «основная» — перед нами задача на работу с формулами. За примерами далеко ходить не надо:

Формулы в задаче B12

Как видно, формулы могут связывать по три, а то и по четыре переменных. Но решаются такие задачи всегда одинаково.

Взгляните на них: значения переменных, входящих в формулу, указаны прямо в тексте. За исключением одной — ее-то и требуется найти. Таким образом, решение задачи B12 с формулой состоит из трех шагов:

  1. Найти и выписать из текста все известные переменные. Не забудьте перевести все в единую систему измерений. Если одна величина указана в км/ч, а другая — в м/с, то все надо перевести в м/с.
  2. Подставить эти переменные в формулу. Получится уравнение с одной неизвестной.
  3. Решить полученное уравнение — получим ответ.

И еще: прежде чем решать задачу, постарайтесь преобразовать исходную формулу в максимально простой вид — избавляйтесь от корней, дробей и прочего бреда. Это правило распространяется на все задачи ЕГЭ по математике.

Задача. В электросеть включен предохранитель, рассчитанный на силу тока 20 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Сила тока в цепи I связана с напряжением U соотношением:

Закон Ома для участка цепи

где R — сопротивление прибора. Ответ выразите в Омах.

Для начала перепишем формулу: U = I · R. По условию, нам известно напряжение U = 220 В и сила тока I = 20 А. Ничего переводить в другую систему счисления не надо — все и так переведено. Поэтому находим R:

220 = 20 · R;
R = 11.

Задача. Если наблюдатель находится на небольшой высоте h над поверхностью Земли, то расстояние от него до линии горизонта можно найти по формуле:

Расстояние до горизонта

где R = 6400 км — радиус Земли. Найдите наименьшую высоту, с которой должен смотреть наблюдатель, чтобы он видел линию горизонта на расстоянии не менее 6,4 км. Ответ выразите в метрах.

Перепишем формулу: l2 = 2Rh. Поскольку нам известны две величины — l = 6,4 км и R = 6400 км — и обе выражены в километрах, можно подставить в формулу и найти h:

6,42 = 2 · 6400 · h;
40,96 = 12 800 · h;
h = 0,0032.

Итак, h = 0,0032 км. Но ответ просят дать в метрах. В одном километре 1000 метров, поэтому имеем:

h = 0,0032 · 1000 = 3,2 м.

Задача. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется по формуле:

Коэффициент полезного действия

При каком наименьшем значении температуры нагревателя T1 КПД этого двигателя будет не меньше 70%, если температура холодильника T2 = 150?

Перепишем формулу, избавившись от дроби: η · T1 = (T1T2) · 100. В этой формуле известны КПД η = 70 и температура холодильника T2 = 150. Подставляем — получаем уравнение относительно T1:

70 · T1 = (T1 − 150) · 100;
70 · T1 = 100 · T1 − 15 000;
−30 · T1 = −15 000;
T1 = 500.

Задача. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 60 Ом. Параллельно с ними в розетку хотят подключить обогреватель. Определите наименьшее допустимое сопротивление этого обогревателя, если для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 10 Ом.

При этом известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление определяется по формуле:

Сопротивление при параллельном соединении

Преобразуем формулу, избавившись от дроби: R · (R1 + R2) = R1 · R2.

Теперь разберемся с терминологией. Общее сопротивление должно быть не менее 10 Ом — значит, R = 10. Что касается R1 и R2, то, не умаляя общности (в силу симметрии формулы), положим R1 = 60. Соответственно, R2 сопротивление обогревателя, которое требуется найти. Имеем:

10 · (60 + R2) = 60 · R2;
600 + 10 · R2 = 60 · R2;
50 · R2 = 600;
R2 = 12.

Задача. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 180 до 210 см. Изображения на экране будет четким, если выполнено соотношение:

Расчет фокусного расстояния

Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Снова перепишем формулу, избавившись от дробей:
f · (d1 + d2) = d1 · d2.

Итак, нам нужно найти d1. При этом значение f = 30 нам дано, а вот d2 изменяется от 180 до 210. Получим два уравнения:

30 · (d1 + 180) = d1 · 180;
30 · d1 + 5400 = 180 · d1;
150 · d1 = 5400;
d1 = 36.

30 · (d1 + 210) = d1 · 210;
... (решается аналогично предыдущему)
d1 = 35.

По условию, оба значения d1 допустимы, поэтому выбираем наименьшее: d1 = 35.

Небольшое пояснение к задаче с линзами. Многие, увидев волшебную фразу «в пределах от ... до ... », даже не приступают к решению этой задачи. А на самом деле это обычная формула — просто для переменных указаны два значения, поэтому надо составить два уравнения. Получим два значения искомой величины — из них выбираем нужное с учетом ограничений.

Смотрите также:
  1. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
  2. Решение задач B12: №440—447
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №8
  4. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
  5. Четырехугольная пирамида в задаче C2
  6. Наибольшее и наименьшее значение