Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям

4 января 2012

Линейные уравнения — простейшие конструкции, которые изучаются в школьном курсе математики. Многие задачи B12, которые встречаются в ЕГЭ и выглядят достаточно угрожающе, в итоге сводятся к этим самым линейным уравнениям.

Как правило, линейные уравнения возникают, если:

  1. При подстановке переменных в исходную формулу задачи сводится к пропорции. В этом случае достаточно вспомнить основное свойство пропорции — умножение «крест-накрест» — и мы получим классическое линейное уравнение;
  2. Формула изначально была линейной. Достаточно редкий случай. Думаю, тут все понятно: записываем уравнение, решаем, находим ответ.

В любом случае, помните основное правило, одинаково полезное для решения всех задач B12:

Избавляйтесь от дробей и отрицательных степеней в формулах. Если можно умножить — умножайте; можно сократить — сокращайте. Дроби (особенно десятичные) можно записывать только в ответе.

Многие, кто впервые слышит это правило, начинают возмущаться. Мол, к чему такие сложности? Ведь это дополнительные действия, в которых можно допустить еще больше ошибок!

Но статистика неумолима: число ошибок, связанных с преобразованием дробей, меркнет по сравнению с огромным множеством ошибок, которые возникают:

  1. Из-за дробных коэффициентов в уравнениях;
  2. При умножении степеней с отрицательными показателями;
  3. Как ни странно, при сложении и вычитании обыкновенных дробей.

Отдельная проблема — переход от правильной дроби к неправильной и обратно. Подобные операции встречаются во многих задачах ЕГЭ по математике, поэтому настоятельно рекомендую изучить их (см. урок «Что такое числовая дробь»).

В общем, следуйте приведенному выше правилу и не допускайте глупых ошибок. А сейчас посмотрим, как это работает, на конкретных экзаменационных задачах.

Задача. Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 700 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 400 руб., постоянные расходы предприятия f = 800 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле:

π (q) = q(pv) − f.

Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 1 000 000 руб.

Классическая задача на подстановку переменных в формулу. По условию, нам известно следующее:

π (q) = q(pv) − f; p = 700; v = 400; f = 800 000.

Требуется, чтобы месячная операционная прибыль π (q) = 1 000 000. Подставляем значения переменных p, v и f в формулу и решаем уравнение:

1 000 000 = q(700 − 400) − 800 000;
1 000 000 + 800 000 = q · 300;
300q = 1 800 000;
q = 6000.

Итак, для получения требуемой месячной прибыли необходимо производить 6000 единиц продукции в месяц — это и есть ответ.

Задача. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома:

Закон Ома для участка цепи

где U — напряжение в вольтах, R сопротивление электроприбора в Омах.

В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 11 А. Определите, какое минимальное сопротивление (в Омах) должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать.

Избавимся от дробей в формуле, переписав ее в виде I · R = U. Далее подставим в эту формулу известные величины: силу тока I = 11 и напряжение U = 220 (единицы измерения писать не надо). Имеем:

11 · R = 220 ⇒ R = 20.

Итак, сопротивление электроприбора должно быть не менее 20 Ом — это и есть ответ.

Задача. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой:

КПД теплового двигателя

где T1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T2 температура холодильника (в градусах Кельвина).

При какой минимальной температуре нагревателя T1 КПД этого двигателя будет не меньше 35%, если температура холодильника T2 = 260 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Снова избавляемся от дроби в формуле. Получим:

η · T1 = (T1T2) · 100%

Теперь решаем задачу. Нам известны КПД двигателя η = 35 и температура холодильника T2 = 260. Единицы измерения писать не надо, т.к. по условию все числа уже приведены в СИ. Имеем:

35 · T1 = (T1 − 260) · 100;
35T1 = 100T1 − 26 000 — раскрыли скобки;
26 000 = 100T1 − 35T1;
26 000 = 65T1;
T1 = 400 — это ответ.

Задача. При температуре 0 °C рельс имеет длину l0 = 15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону:

l(t°) = l0(1 + α · t°)

где α = 1,2 · 10−5 (°C)−1 коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6,3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Довольно зверская задача, поскольку и формула, и числа в ней весьма сложные. Для начала выясним, что означает фраза «рельс удлинится на 6,3 мм». Итак, был рельс длиной 15 метров. Затем рельс удлинился на 6,3 мм = 6,3 · 10−3 метра (т.к. 1 мм — это 10−3 метра), и теперь общая длина равна 15 + 6,3 · 10−3 метра.

Теперь, когда мы разобрались, что значит «рельс удлинится», можно решить задачу. Имеем: l0 = 15; l(t°) = 15 + 6,3 · 10−3; α = 1,2 · 10−5. Подставляем в исходную формулу — получаем:

15 + 6,3 · 10−3 = 15 · (1 + 1,2 · 10−5 · t);
15 + 6,3 · 10−3 = 15 + 15 · 1,2 · 10−5 · t раскрыли скобки;
6,3 · 10−3 = 18 · 10−5 · t убрали 15 с обеих сторон;
6,3 · 10−3 · 105 = 18 · 10−5 · 105 · t умножили все на 105;
6,3 · 102 = 18 · t — избавились от отрицательных степеней;
18t = 630 — получили нормальное уравнение;
t = 35 — решили уравнение.

Как видите, при аккуратном подходе даже самые сложные задачи (например, с рельсами) решаются быстро.

В заключение — небольшое замечание касательно единиц измерения. Вопрос: когда их надо преобразовывать, а когда на это можно забить? В ЕГЭ по математике существует лишь две потенциально «опасные» величины:

  1. Скорость. Может измеряться в метрах в секунду, а может — в километрах в час;
  2. Расстояние. В разных задачах измеряется в метрах, километрах и даже миллиметрах (как в случае с рельсами).

Остальные числа — время, температура и другие физические величины — всегда даются в СИ. Исключения существуют, но их единицы, и такие задачи сразу бросаются в глаза.

Смотрите также:
  1. Решение задач B12: №440—447
  2. Работа с формулами в задаче B12
  3. Основные свойства логарифмов
  4. Следствия из теоремы Виета
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Задача B5: площадь закрашенного сектора