Комбинированные задачи B12

5 января 2012

Часто бывает, что в одной задаче B12 присутствует и функция, и формула. В таких задачах кроме основной переменной присутствуют дополнительные неизвестные, значения которых надо искать где-то в тексте.

Общая схема решения почти ничем не отличается от задач с формулами (см. урок «Работа с формулами в задаче B12»). В двух словах: найти в тексте числа и подставить их в исходную формулу. Если все сделать правильно, получится стандартное уравнение с одной переменной.

Задача. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:

Показательная функция

где m0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m0 = 56 мг. Период его полураспада T = 7 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 7 мг?

По условию, известны следующие величины: m0 = 56; T = 7. Подставим их в функцию — получим m(t) = 56 · 2t/7. Требуется найти момент, когда m(t) = 7 мг. Составим и решим уравнение:

56 · 2t/7 = 7;
2t/7 = 1/8 — разделили все на 56;
2t/7 = 2−3 — представили 1/8 как 2−3;
t/7 = −3;
t = 21.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p. Определите максимальный уровень p цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.

Итак, у нас есть функция r = q · p, причем q — неизвестная величина. Более того, переменная q сама является функцией: по условию, q = 75 − 5p. Подставим это выражение в функцию r. Получим:

r = (75 − 5p) · p = 75p − 5p2.

Теперь у нас есть функция, выражающая прибыль через цену. Все цены установлены в тысячах рублей — это следует из условия. Также, по условию, прибыль должна быть не менее 270 тыс. руб., поэтому можно написать r = 270. Составим и решим уравнение:

270 = 75p − 5p2;
5p2 − 75p + 270 = 0 — перенесли все влево;
p2 − 15p + 54 = 0 — разделили все на 5;
... (решаем квадратное уравнение)
p1 = 6; p2 = 9.

Поскольку нас интересует наибольшая цена, выбираем p2 = 9.

Задача. При температуре 0 °С рельс имеет длину l0 = 20 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l(t) = l0 · (1 + a · t), где a = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Изначально нам известны две величины: l0 = 20 и a = 1,2 · 10−5. Самый тонкий момент — понять, чему равно l(t). А именно: зазор исчезнет, когда рельс удлинится на эти самые 9 мм. Была длина 20 метров, а стала — 20 метров + 9 мм.

Переведем все в метрическую систему. В одном метре 1000 мм, поэтому 9 мм = 9 · 10−3 м. Итого, l(t) = 20 + 9 · 10−3. Оставим эту запись именно в таком виде, не будем складывать. Получилось уравнение:

20 + 9 · 10−3 = 20 · (1 + 1,2 · 10−5 · t).

Раскроем скобки — и после очевидных преобразований уравнение станет совсем простым:

20 + 9 · 10−3 = 20 + 20 · 1,2 · 10−5 · t;
9 · 10−3 = 24 · 10−5 · t — убрали с обеих сторон число 20.

Умножим обе стороны на 105 и получим:

9 · 10−3 + 5 = 24 · 10−5 + 5 · t;
9 · 102 = 24t — обычное линейное уравнение;
t = 900/24 = 37,5.

Как видите, задача про рельсы оказалась довольно сложной. И многие, кто писал пробный ЕГЭ по математике, с этой задачей не справились. В большинстве случаев ученики забывали, что итоговая длина l(t) — это сумма исходной длины l0 и удлинения, которое еще надо перевести в метры.

Общие выводы из приведенных решений:

  1. Иногда в задачах о радиоактивных изотопах указывают название вещества — не обращайте внимания на это. Хоть медь-64, хоть ксенон-133 — что угодно. Эти числа не участвуют в решении, а только засоряют текст задачи. Возможно, составители задач делают это намеренно;
  2. В задачах о предприятиях-монополистах не стоит пугаться единиц измерений. Даже если это сотни тысяч рублей, не надо приписывать нули к указанным в задаче числам. Используйте то, что дано — и получите правильный ответ;
  3. Когда речь идет о рельсах, важно понимать, что l(t) — это длина всего рельса, а не только его удлинение. Само удлинение (или зазор) надо перевести в метры. Например, 4,5 мм — это 4,5 · 10−3 м. Кроме того, не спешите складывать длину рельса и зазор. Лучше раскройте скобки — формула сложная, но объем вычислений сократится многократно. И не надо вычислять 10−5, а то получится одна стотысячная и будет очень грустно.

Сложные задачи B12

Но рельсы — это еще не все! Существуют еще более сложные задачи, требующие действительно грамотных размышлений. По сравнению с ними даже рельсы отдыхают. Вероятность нарваться на подобную задачу в настоящем ЕГЭ невелика, но знать, как они решаются, совершенно необходимо.

Рассмотрим две такие задачи. Они действительно предлагались на пробном ЕГЭ по математике. Справились с ними лишь единицы.

Задача. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:

Закон Стефана - Больцмана: уравнение 4-й степени

где σ = 5,7 · 10−8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.

Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/128) · 1020 м2, а излучаемая ею мощность P не менее 1,14 · 1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

Конечно, формула с четвертой степенью и числа, содержащие степени десятки, выглядят угрожающе. Но в действительности все не так плохо. Нам известна мощность P, площадь S и постоянная σ. Подставим их в формулу — получим:

1,14 · 1025 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · T 4.

Единицы измерения не пишем — они только засоряют уравнение. Чтобы упростить решение, умножим обе стороны на 128, а затем по возможности сократим количество множителей. Имеем:

1,14 · 1025 · 128 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · T 4 · 128;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 10−8 · 1020 · T 4 — сократили множители, отмеченные красным;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 1012 · T 4;
1,14 · 128 · 1025 − 12 = 5,7 · 1012 − 12 · T 4 — разделили все на 1012;
1,14 · 128 · 1013 = 5,7 · T 4;
1,14 · 128 · 1013 : 5,7 = 5,7 · T 4 : 5,7 — делим все на 5,7;
0,2 · 128 · 1013 = T 4 — потому что 1,14 : 5,7 = 0,2;
2 · 10−1 · 128 · 1013 = T 4 — записали 0,2 = 2 · 10−1;
256 · 1012 = T 4 — группируем двойки и десятки;
T 4 = 1012 · 28 — поскольку 256 = 28;
T = 103 · 22 = 1000 · 4 = 4000.

На последнем шаге мы находим корень 4-й степени. Напомню: извлечение корня понижает степени у каждого множителя.

Вообще говоря, действительных корней в уравнении будет два: T1 = 4000 и T2 = −4000. Но температура в Кельвинах не может быть отрицательной, поэтому второй вариант нас не интересует.

Задача. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:

Уравнение высоты столба жидкости

где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2).

Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Для начала выясним, чему равно искомое H(t). По условию, в баке должна остаться четверть первоначального объема воды. Поэтому H(t) = (1/4) · 20 = 5 м.

Теперь, когда все параметры известны, подставим числа в функцию. Чтобы не усложнять выкладки, заметим следующее:

Корень из 400 равен 20

Таким образом, вместо корня можно смело писать число 20. Имеем:

5 = 20 − 20 · (1/50) · t + (10/2) · (1/50)2 · t2;
0 = 15 − 20 · (1/50) · t + 5 · (1/50)2 · t2 — перенесли все в одну сторону;
(1/50)2 · t2 − 4 · (1/50) · t + 3 = 0 — разделили все на 5.

Сделаем замену переменной: (1/50) · t = x. Тогда (1/50)2 · t2 = x2, и все уравнение перепишется следующим образом:

x2 − 4x + 3 = 0;
(x − 3) · (x − 1) = 0 — корни квадратного уравнения легко угадываются без всякого дискриминанта (см. урок «Теорема Виета»);
x1 = 3; x2 = 1.

Теперь вспоминаем, что такое x. Поскольку мы выполняли замену x = (1/50) · t, имеем:

t = 50x;
t1 = 50 · 3 = 150;
t2 = 50 · 1 = 50.

Итак, у нас два кандидата на ответ: числа 50 и 150. Заметим, что в момент времени t = 100 высота столба воды равна:

H(100) = 20 − 20 · (1/50) · 100 + 5 · (1/50)2 · 1002 = 20 − 40 + 20 = 0.

Другими словами, через t = 100 секунд вода полностью вытечет из бака, и уравнение H(t) теряет физический смысл. Поэтому вариант t = 150 нас не интересует. Остается только t = 50.

В заключение хочу еще раз заострить внимание на последней задаче. Мы отсеяли корень t = 150, поскольку он расположен слишком далеко от старта — там, где исходная формула теряет всякий физический смысл. Сравните:

  1. С точки зрения математики, перед нами стандартная квадратичная функция, график которой — парабола. И вполне нормально, что квадратное уравнение имеет два корня;
  2. Но с точки зрения физики, после отметки t = 100 графика вообще не существует. Потому что через 100 секунд вода полностью вытекает из бака, и функция H(t) перестает описывать рассматриваемый процесс. Все, что расположено дальше этой отметки — бред, который нас не интересует.

В задаче про звезды мы выбрали положительный корень, также руководствуясь физическим смыслом. Данные примеры наглядно демонстрируют, насколько опасно «увлекаться» математическими уравнениями без оглядки на реальные условия задач. Будьте внимательны!

Смотрите также:
  1. Текстовые задачи про рельсы
  2. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
  3. Что такое логарифм
  4. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 8 вариант
  6. Задача B5: вычисление площади методом обводки