Задача B4: Семья из трех человек ведет из Москвы в Нижний Новгород

7 января 2014

Этим уроком я начинаю длинную серию видеоуроков, посвященных текстовым задачам B4 из первой части ЕГЭ по математике. Как вы понимаете, речь пойдет о самых простых задачах, решить которые способен даже самый плохо подготовленный ученик. Сразу скажу, что текстовые задачи на выбор варианта ответа (а именно таки задачи и встречаются в B4) делятся на два больших класса:

  1. Задачи с таблицами;
  2. Задачи без таблиц.

Кроме того, по количеству рассматриваемых вариантов такие задачи делятся на задачи с двумя вариантами ответа и задачи с тремя вариантами. Зная эту несложную классификацию, можно легко определить, насколько сложна конкретная задача, которую вы встретите в пробном или настоящем ЕГЭ по математике. А именно:

  1. Задачи с таблицами, в которых представлены лишь два варианта, являются самыми простыми;
  2. Задачи B4 без таблиц, в которых представлено сразу 3 варианта, являются самыми сложными;
  3. Кроме того, есть промежуточные варианты: задачи на 2 варианта, но без таблиц, а также задачи с таблицами на 3 варианта.

Последние задачи относятся к промежуточному уровню сложности, и именно такую задачу мы рассмотрим в сегодняшнем видеоуроке. Как видите, в ней нет таблицы, но если внимательно прочитать условие, то мы увидим, что нам на выбор дается два варианта, т.е. речь идет о третьем случае.

Что ж, хватит лирики. Давайте попробуем решить эту задачу:

Задача B4. Семья из трех человек едет из Москвы в Нижний Новгород. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1250 рублей. Автомобиль расходует 16 литров бензина на 100 километров пути, а расстояние по шоссе равно 400 км. При этом 1 литр бензина стоит 31 рубль. Какая поездка (поездом или на машине) обойдется дешевле? В ответе укажите, сколько рублей она будет стоить.

Итак, по условию задачи у нас на выбор есть 2 варианта:

  1. Ехать поездом;
  2. Ехать на автомобиле.

В первом случае нужно купить билеты. Каждый такой билет стоит 1250 рублей. А всего едет 3 человека, следовательно, надо купить 3 билета. Получаем общую стоимость:

1250 · 3 = 3750

Итого 3750 рублей — именно столько мы потратим, если поедем втроем из Москвы в Нижний Новгород поездом.

Теперь разберемся с автомобилем. Очевидно, что для семьи из трех человек одного автомобиля будет вполне достаточно. Поэтому стоимость поездки будет равна стоимости потраченного бензина. По условию задачи, на каждые 100 км пути автомобиль тратит 16 литров бензина. При этом расстояние от Москвы до Нижнего Новгорода, которое требуется преодолеть, равно 400 км. Обозначим необходимое количество бензина за x литров. Тогда получится, что если на 100 км уходит 16 литров, то на 400 км — x литров. Следовательно, можем составить пропорцию:

Пропорция, к которой сводится задача B4

Сокращаем нули в числителе и знаменателе левой дроби:

Та же самая пропорция, но уже после сокращения

Затем воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получим:

x = 4 · 16 = 64

Вот мы и получили, что для того, чтобы проехать расстояние в 400 км, нам потребуется 64 литра бензина. Теперь вспоминаем, что 1 литр бензина стоит 31 рубль. Следовательно, 64 литра бензина будут стоить:

64 · 31 = 1984

Итак, мы получаем, что если ехать в автомобиле, то семья из трех человек потратит на поездку 1984 рубля. Все! Мы просчитали оба варианта, которые фигурируют в задаче. Переходим к вопросу: какая поездка — поездом или на машине — обойдется дешевле? Т.е. нас интересует самый дешевый вариант. Очевидно, что автомобилем в данном случае будет ехать дешевле. Поскольку в ответе просят указать стоимость этой поездки, то ответ — 1984.

Все! Задача решена. Еще раз — ключевые моменты решения.

  1. В первую очередь мы должны определить, сколько вообще вариантов рассматривается в данной задаче. Это касается не только задач про семью из 3-х человек — речь идет вообще обо всех задачах B4 из ЕГЭ по математике. В нашем случае очевидно, что речь идет о двух вариантах: поездка на поезде, либо поездка на автомобиле.
  2. Затем мы отдельно просчитываем каждый вариант и находим: сколько денег потребуется на каждую поездку. В случае с поездом все решается очень просто — мы просто умножаем цену билета на количество человек, которые едут, т.е. на 3, и получаем 3750 рублей. Затем разбираемся с автомобилем — тут все чуть сложнее. Сначала надо найти общий расход бензина на весь путь, для чего потребовалось составить пропорцию. А затем вспоминаем, что каждый литр стоит 31 рубль, и умножаем количество литров на стоимость и получаем: 64 · 31 = 1984 рубля.
  3. Наконец, смотрим: что от нас требуется в условии задачи? В данной задаче требуется выбрать ту поездку, которая обойдется дешевле.

Обратите внимание: иногда требуется найти более дорогой вариант. И тогда ответом было бы число 3750. Однако в нашем случае требуется найти самый дешевый вариант поездки, поэтому ответом будет именно 1984. Вот и все решение. Как видите, ничего сложного в нем нет.

Смотрите также:
  1. B4: счетчики на электричество
  2. Задача B4 про шерсть и свитер
  3. Основные свойства логарифмов
  4. Следствия из теоремы Виета
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
  6. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии