Как решать задачи B15 без производных

29 января 2012

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a; b], если для любых точек x1 и x2 этого отрезка выполняется следующее:

x1 < x2f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке [a; b], если для любых точек x1 и x2 этого отрезка выполняется следующее:

x1 < x2f (x1) > f (x2).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x, тем меньше f (x).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = loga x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Арифметический квадратный корень

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Степени с отрицательным показателем

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax2 + bx + c. Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

  1. Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
  2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Координата вершины параболы

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x0 для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

  1. Отрезок [a; b] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a) и f (b) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
  2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы x0, координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

  1. Выписать уравнение параболы y = ax2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x0 = −b/2a;
  2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Формула с корнем - иррациональная функция

Под корнем стоит квадратичная функция y = x2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x0 = −b/(2a) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x0 = −3 функция y = x2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x0 точка минимума всей функции. Имеем:

Минимальное значение функции на отрезке

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 2 (x2 + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x2 + 2x + 9. График — парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x0 = −b/(2a) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x монотонная, поэтому:

ymin = y(−1) = log 2 ((−1)2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Сложная показательная функция

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4xx2. Перепишем ее в нормальном виде: y = −x2 − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз (a = −1 < 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x0 = −b/(2a) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x0 = −2:

Максимальное значение функции на отрезке

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

  1. Аргумент логарифма должен быть положительным:

    y = loga f (x) ⇒ f (x) > 0

  2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

    ОДЗ корня
  3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

    ОДЗ дроби

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Корень из квадратичной функции

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2xx2. Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2xx2 ≥ 0 ⇒ x2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x0 = −b/(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x0, а также на концах ОДЗ:

Значение функции в точке x = -1

y(−3) = y(1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 0,5 (6xx2 − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6xx2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6xx2 − 5 > 0 ⇒ x2 − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x0 = −b/(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x0:

ymin = y(3) = log 0,5 (6 · 3 − 32 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Смотрите также:
  1. Показательные функции в задаче B15: хитрости решения
  2. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Формула простого процента: неизвестно конечное значение