Задача B15: Когда без производной сложной функции не обойтись?

1 марта 2014

Сегодня мы изучим еще более сложную задачу на поиск точек экстремума из ЕГЭ по математике. Взгляните:

Найдите произведение всех точек максимума функции:

\[y={{x}^{4}}{{e}^{-{{x}^{2}}}}\]

Общая схема нахождения точки максимума и минимума

Сразу хочу обратить ваше внимание: в степени стоит именно $-{{x}^{2}}$, не линейная функция, а именно квадратичная. И, следовательно, для решения этой задачи нам придется привлекать производную сложной функции. Но прежде чем мы начнем решать эту задачу, хотелось бы вспомнить общий алгоритм. Напомню, что для нахождения экстремума нам потребуется выполнить четыре последовательных шага:

  1. Первый шаг самый простой и самый очевидный: найти\[{y}'\].
  2. Вторым делом мы приравниваем ${y}'$ к нулю и находим корни уравнения. При этом на практике крайне редко встречается, когда ответов будет больше двух, максимум трех —\[{y}'=0;{{x}_{1}},{{x}_{2}}...\]
  3. Третий шаг — мы чертим координатную ось $x$ и отмечаем на не все наши полученные значения. Обратите внимание: эти корни отмечаются закрашенными точками. Кроме того, нужно отметить такие значения, в которых ${y}'$ не существует. Они отмечаются выколотыми, и в дальнейшем решении задачи не участвуют, но влияют на знак. После того как мы отметим все нули производной и значения, в которой она не существует, необходимо отметить знаки производной на каждом из получившемся интервалов. Разумеется, особо большого выбора здесь не дано: будет либо «плюс», либо «минус», т. е. ${y}'$ между своими нулями либо положительная, либо отрицательная:
  4. Четвертый шаг: на основании полученной картинки мы выписываем точки максимума и минимума. Напомню, что если в каком-то корне ${y}'$ меняет свой знак с плюса на минус, то это означает, что это значение является точкой максимума. А если в заданной точке минус переходит в плюс, то данное значение является точкой минимума. При этом помните, что считывание знаков всегда идет слева направо, т. е. в направлении, совпадающим с положительным направлением оси х.

Решение задачи B15 — вычисление точек максимума

Хватит теории, давайте решим нашу задачу. В первую очередь заметим, что перед нами произведение двух функций, следовательно, для решения задачи потребуется вспомнить формулу производной произведения, а именно:

\[{{\left( f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}'\cdot g+f\cdot {g}'\]

Шаг 1: Вычисление производной сложной функции

Давайте воспользуемся этой формулой для нахождения производной сложной функции:

\[{y}'={{\left( {{x}^{4}}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{4}} \right)}^{\prime }}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}}+{{x}^{4}}...\]

При вычислении у нас может возникнуть заминка, поэтому давайте выпишем сложную функцию отдельно. Перед нами производная сложной функции, следовательно, чтобы найти ее, необходимо ввести новую переменную:

\[-{{x}^{2}}=t\]

Получим:

\[{{\left( {{e}^{-{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{t}} \right)}^{\prime }}\cdot {t}'\]

Это и есть формула производной сложной функции. Другими словами, если мы вводим новую переменную, то в дальнейшем мы обязаны умножить на производную этой переменной, чтобы получить производную исходной функции. Давайтепосчитаем:

\[{{\left( {{e}^{-{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{t}} \right)}^{\prime }}\cdot {t}'={{e}^{-{{x}^{2}}}}\cdot {{\left( -{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}={{e}^{-{{x}^{2}}}}\cdot \text{ }\left( -2x \right)\]

Производная сложной функции найдена. Возвращаемся к нашей исходной функции и дописываем:

\[{y}'={{\left( {{x}^{4}}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{4}} \right)}^{\prime }}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}}+{{x}^{4}}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}}\cdot \left( -2x \right)=\]

\[={{x}^{3}}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}}\left( 4\cdot 1\cdot 1+x\cdot 1\cdot \left( -2x \right) \right)={{x}^{3}}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}}\left( 4-2{{x}^{2}} \right)=\]

\[=2{{x}^{3}}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}}\left( 2-{{x}^{2}} \right)\]

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю

Переходим ко второму шагу и приравниваем ее к нулю. Решаем полученное уравнение:

\[2{{x}^{3}}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}}\left( 2-{{x}^{2}} \right)=0\]

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Очевидно, что 2 никогда не равна 0, поэтому остаются следующие варианты:

\[\left[ \begin{align}& {{x}^{3}}=0, \\& {{e}^{-{{x}^{2}}}}=0, \\& 2-{{x}^{2}}=0. \\\end{align} \right.=>\left[ \begin{align}& x=0, \\& \varnothing , \\& {{x}^{2}}=2. \\\end{align} \right.=>\left[ \begin{align}& x=0, \\& x=\sqrt{2}, \\& x=-\sqrt{2}. \\\end{align} \right.\]

Шаг 3: Отмечаем корни и находим знаки производной

Итого у нас три корня, причем первый из них имеет третью кратность.

Переходим к третьему шагу и отмечаем все три значения на координатной оси:

Осталось разобраться со знаками. Давайте возьмем какое-нибудь большое число, например, 1000, и подставим наше число в ${y}'$:

\[2{{x}^{3}}\cdot {{e}^{-{{x}^{2}}}}\left( 2-{{x}^{2}} \right)\]

 итоге первое число будет отрицательным, т. е. будет стоять «минус». Затем,\[\sqrt{2}\]является корнем первой кратности, следовательно, при переходе через него знак поменяется. Знак также поменяется при переходе через 0, потому что 0 является корнем третьей кратности, а 3 — это число нечетное. Напоминаю, что при переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — 2, 8 и т. д. знак остается прежним. В нашем случае все меняется. И при переходе через корень\[-\sqrt{2}\]знак также меняется:

Шаг 4: Нахождение точек максимума функции

Прекрасно, мы отметили все корни, переходим с условию задачи: от нас требуется найти произведение всех точек максимума, т. е. такие значения, которые согласно нашему четвертому шагу стоят на границе между «плюсом» и «минусом». Таких у нас будет две:\[\sqrt{2}\]и\[-\sqrt{2}\].

А теперь возвращаемся к условию задачи и смотрим: от нас требуется найти их произведение. Запишем:

\[-\sqrt{2}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }\sqrt{\text{2}}=-2\]

Ответ к задаче будет -2.

Замечание о производной сложной функции

Основная проблема, с которой столкнется большинство учеников — это производная сложной функции. К сожалению, в школе недостаточно уделяют внимание как производным вообще, так и сложным производным в частности. В результате многие ученики не то, что производную сложной функции не могут вспомнить, они даже не подозревают о существовании формулы производной произведения. Очень часто я наблюдаю такую ситуацию: человек хочет сосчитать производную произведения, и считает ее следующим образом:

\[{{\left( {{x}^{4}} \right)}^{\prime }}\cdot {{\left( {{e}^{-{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}\]

Другими словами, многие ученики искренне считают, что производная произведения равна произведению производных. Это неправильно, ни в коем случае нельзя так считать, а правильно считать нужно с помощью специальной формулы:

\[{{\left( f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}'\cdot g+f\cdot {g}'\]

Надеюсь, этот урок поможет тем, кто готовится к ЕГЭ по математике. Смотрите другие видеоуроки, решайте задачи — и никакие экзамены вам будут не страшны!

  

Смотрите также:
  1. Задача B15: что делать с квадратичной функцией
  2. Специфика работы с логарифмами в задаче B15
  3. Что такое числовая дробь
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
  5. Задачи B6 с монетами
  6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора