Показательные функции в задаче B15: хитрости решения

17 марта 2014

Сегодняшний урок будет очень коротким, очень быстрым, но очень полезным для тех, кто уже хоть немного разобрался с производными и тем, как их применять на ЕГЭ по математике. Итак, сегодня мы решим следующую задачу:

Задача B15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−3; 3]:

y = 7 − (2x + 8) ex + 3

Общая схема решения задач B15

Как обычно решаются такие задачи? Давайте я напишу общий алгоритм. Он состоит из четырех шагов:

  1. В первую очередь во всех таких задачах нужно найти производную: y' = ?;
  2. Затем эта производная приравнивается к нулю, полученное уравнение решается, получаются корни x1, x2, ...;
  3. Затем из этого набора корней отбираются те, которые лежат на отрезке, указанном в условии задачи. В нашем случае это отрезок [−3; 3], а вообще обозначим этот отрезок [a; b]: x1, x2 ∈ [a; b];
  4. Наконец, возвращаемся к функции и считаем ее значение сначала в концах отрезка (т. е. находим значения y(a) и y(b)), а зачем — в тех точках, которые мы получили на третьем шаге. Другими словами, мы подставляем в нашу функцию корни, которые лежат на отрезке [a; b]: y(a); y(b); y(x1); y(x2).

Однако во многих задачах существует алгоритм, который во много раз позволяет упростить выкладки и сократить приведенный алгоритм до двух шагов. Вот сейчас об этом алгоритме я вам и расскажу.

Упрощенная схема нахождения максимальных/минимальных значений

В первую очередь нужно посмотреть, что требуется найти в условии задачи. Запомните: данный алгоритм работает только в тех случаях, когда от нас требуется найти именно значение функции — не точку минимума или максимума и не какие-то экстремумы, а именно наибольшее либо наименьшее значение функции.

Затем необходимо посмотреть на само выражение, задающее функцию. В нем должны обязательно присутствовать такие элементы как:

  1. Показательная функция: ex;
  2. Логарифмическая функция: ln x;
  3. Тригонометрические функции: sin x и cos x;

Кроме того, иногда встречается функция tg x, но такие задачи дают редко.

Что делать с этими функциями и почему нас интересуют именно они? Дело в том, что каждая из этих функций принимает нормальное вменяемое значение лишь в конечном количестве аргументов. В случае с синусом и с косинусом мы имеем дело с бесконечным множеством чисел, но поскольку у нас всегда присутствует отрезок, то на отрезке это бесконечное множество превращается в конкретный набор точек.

Почему мы рассматриваем лишь «красивые» точки?

Судите сами: когда ex принимает нормальное значение? Только если х = 0. В этом случае e0 = 1. Во всех остальных случаях, например, e1, e2, мы не сможем записать полученные числа в ответ просто потому, что число e является иррациональным числом и, следовательно, e1 или e2 тоже являются иррациональными числами — бесконечными и непредставимыми в виде десятичной дроби.

Показательные, логарифмические и тригонометрические функции дают «красивые значения» лишь в ограниченном наборе точек. И это значительно упрощает решение, если заранее известно, что ответ должен быть рациональным.

Разумеется, знающие ученики сейчас возразят: а что, если у нас есть вот такое вот выражение eln 5? Это же будет просто 5. Да, я не спорю, в таком выражении мы получим y = 5. Но я еще не видел ни одного выражении из ЕГЭ по математике, в котором при решении производной, т. е. при выполнении второго шага мы получили корень х = ln 5 или что-то подобное. Поэтому смело применяйте то, о чем я сейчас расскажу, и в пробниках, и в настоящем ЕГЭ по математике.

Решение задач по упрощенной схеме

А скажу я следующее: для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение нашей функции, нужно понять, когда эта функция принимает «красивое» значение. Вариантов тут два:

  1. Выражение ex + 3 само по себе может быть хорошим числом;
  2. Выражение ex + 3 может быть любым числом, однако то, на что это выражение умножается, будет нулем.

Почему нас интересует именно ноль? Да все очень просто. Каким бы не было выражение ex + 3, но если мы умножаем его на ноль, то и получим ноль, т. е. красивое число.

Решение задачи B15

А теперь давайте перейдем от пространных математическим размышлениям к конкретным уравнениям. Итак, вариантов два:

2х + 8 = 0;

х + 3 = 0.

В первом случае обнуляется множитель, стоящий перед функцией ex + 3, во втором случае обнуляется показатель самой функции ex + 3. В результате в каждом из этих случаев мы получим красивый ответ. Давайте считать:

х1 = −4;

х2 = −3.

Прекрасно, вот мы и получили два числа, которые, в принципе, могут являться кандидатами на ответ. Не считая никаких производных и не решая никаких уравнений, мы уже выполнили второй шаг — нашли величину х.

Следующий шаг — отбор корней

Теперь выполняем 3-ый шаг. Сразу видим, что х = −4 нас не устраивает, потому что x = −4 не принадлежит отрезку [−3; 3]. А вот второй корень — х = −3 вполне нас устраивает. Более того, он является концом рассматриваемого отрезка.

Последний шаг — считаем значение функции

Теперь можно перейти к четвертому шагу. Давайте подставим концы нашего отрезка в нашу исходную функцию. Получаем:

y(−3) = 7 − (−6 + 8) · e−3 + 3 = 7 − 2 · 1 = 5

На самом деле, на этом можно было бы закончить, потому что число y = 5 и является ответом. На основании чего я делаю такое утверждение? Все очень просто. Второй конец отрезка, который мы должны сейчас подставить согласно нашему алгоритму, равен 3 — и он не фигурирует в нашей совокупности. Значит, это число заведомо не удовлетворяет нас с точки зрения «красоты» итогового ответа.

Даже если мы сейчас подставим это число и даже если что-то получим, это «что-то» будет иррациональным числом и точно не запишется в ответ. Тем не менее, давайте проверим:

y(3) = 7 − (6 + 8) · e3 + 3 = 7 − 14 · e6 = 7 · (1 − 2 · e6)

Кроме того, число e6 будет больше, чем 16, потому что e = 2,7..., что явно больше, чем 1. Поэтому мы смело можем записать следующее:

7 · (1 − 2 · e6) < 7 · (1 − 2) = −7

Итого мы получили, что в точке x = 3 наша функция принимает отрицательное значение, которое меньше, чем −7, и уж точно меньше, чем −5. А в задаче от нас требуется найти наибольшее значение функции. Следовательно, y = 5 как раз и будет тем самым наибольшим значением. Поэтому можем записать ответ, он будет равен 5.

Замечание по поводу задач B15

Мы решили эту задачу без привлечении производной, без решения сложных уравнений, а просто с помощью замечания о «красивых» значениях функции. Как видите, даже в сложных задачах B14 из ЕГЭ по математике нет ничего сложного. Все решается буквально в нескольких строчках — достаточно просто применить специальное правило и немножко подумать головой.

При работе с показательными, логарифмическими и тригонометрическими функциями нужно рассмотреть оба варианта: либо сама функция принимает «красивое» значение, либо она принимает произвольное значение, однако затем умножается на ноль — и в ответе все равно возникает рациональное число.

Разумеется, все это не отменяет необходимости знать, как считаются производные функций в задаче B14. Потому что никто не даст гарантию, что на экзамене вам попадется именно иррациональная функция. Поэтому не стоит ограничивать свои знания использованием таких вот приемов.:)

Желаю вам удачи при подготовке к ЕГЭ по математике! Оставайтесь с нами, тренируйтесь решать задачи — и никакие экзамены вам будут нестрашны!

Смотрите также:
  1. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
  2. Как решать задачи B15 без производных
  3. Основные свойства логарифмов
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
  5. Тригонометрические функции
  6. Задача B5: площадь кольца