Сегодня у нас заключительный урок на производные из ЕГЭ по математике. И как всегда по традиции последняя задача будет немножко нестандартной. Итак:
Задача B15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; π/3]:
y = 2sin 2x + cos 4x
Перед тем, как мы начнем решать эту задачу, хотел бы напомнить вам общий универсальный алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Он состоит из 4 шагов:
1. Первый шаг состоит в том, что нужно найти производную нашей функции: y' = ?
2. Второй шаг — производную мы приравниваем к нулю в результате решения у нас получится один или несколько корней: x{1}, x{2}, ...
3. Затем берем эти корни и оставляем только те из них, которые лежат на отрезке, указанном в условии задачи — в нашем случае речь идет об отрезке [0; π/3]. Другими словами, мы вычеркиваем все корни, которые не лежат на интересующем нас отрезке: x{1}, x{2} ∈ [0; π/3].
4. Наконец, подставляем концы отрезка, а также оставшиеся корни в нашей исходное уравнение. Другими словами, мы находим y(0); y(π/3); y(x1); y(x2), т. е. значение функции в нулях производной.
Это стандартная схема, и мы применяли ее уже много раз.
Естественно, при взгляде на этот алгоритм у многих учеников сразу возникают вопросы. Первый и самый распространенный: «Почему это мы подставляем в нашу функцию концы отрезка? Неужели недостаточно просто посчитать функцию в нулях производной?»
К сожалению, недостаточно. Взгляните вот на такую функцию:
На этом рисунке видно, что наибольшее значение функции достигается именно в правом верхнем конце отрезка — в точке b, а никак не в точке x1, которая является точкой максимума и, соответственно, возникает при решении уравнения y' = 0. То же самое и с наименьшим значением — оно достигается в точке a, но ни в коем случае не в точке x2, которая также возникнет при решении y' = 0.
Вспомните определение производной и точки экстремума: в данном случае точка x1 будет являться точкой локального максимума, т. е. на некотором интервале, достаточно небольшом, именно на этой точке будет приниматься наибольшее значение. То же самое касается и точки x2. На некотором небольшом интервале, т. е. на определенном отступе от этой точки вправо или влево функция действительно будет принимать наименьшее значение именно в точке x2.
Однако на глобальном отрезке никто этого не гарантировал. И часто случается так, что настоящее наибольшее или наименьшее значение функции достигается именно на концах рассматриваемого отрезка. Особенно это качается задач B15, которые любят давать на пробниках и разных демонстрационных ЕГЭ по математике.
Наибольшее или наименьшее значение функции совсем не обязательно достигается в нулях производной. Очень часто такие значения возникают на концах отрезка, где производная отлична от нуля.
В общем, чтобы подстраховаться и не допустить обидных ошибок на настоящем экзамене, настоятельно рекомендую вам считать значения функции не только в нулях производной, но и на концах отрезка, т. е. в нашем случае в точках х = 0 и х = π/3.
С теорией разобрались, давайте решать нашу задачу. Для начала нам нужно посчитать производную функции:
y = 2sin 2x + cos 4x
Итак, записываем:
y' = (2sin 2x + cos 4x)' = (2sin 2x)' + (cos 4x)'
И вот тут возникает проблема в данной задаче: дело в том, что внутри синуса и косинуса стоит не переменная х, а выражение 2х и даже 4х.
Как поступать с такими конструкциями? Конечно, можно воспользоваться производной сложной функции, посчитать и в итоге получить правильное значение, но давайте не будем лезть в дебри, а вспомним замечательную формулу, которая рассматривалась не нескольких уроках, посвященным подготовке к ЕГЭ по математике. Формула следующая:
x → kx + b
(f (x))' → k (f ' (kx + b))
Другими словами, замена переменной функции не проходит для всей функции бесследно. В случае, если вместо х мы подставляем линейную функцию, то перед новой производной появляется коэффициент.
Линейная замена переменной приводит лишь к одному дополнительному множителю в производной. Никаких сложных формул при линейной замене применять не нужно!
Это частный случай производной сложной функции. Однако сложные функции в реальном ЕГЭ не встречаются. Поэтому вам достаточно будет знать упрощенную конструкцию, которую мы записали. Ее очень легко применять.
Давайте посчитаем производную sin 2x. Для этого вспомним такое:
(sin x)' = cos x
Тогда производная от sin 2x будет выглядеть так:
(sin 2x)' = 2 · cos 2x
Все, производная 2sin 2x найдена. Аналогично давайте разберемся и с производной cos 4x:
(cos 4x)' = 4 · (−sin 4x) = −4 sin 4x
А теперь собираем это все в одну конструкцию и получаем:
y' = 4 cos 2x − 4 sin 4x
Итак, первый шаг нашего алгоритма выполнен, мы нашли производную. Теперь приравниваем эту производную к нулю и решаем полученное уравнение:
2 cos 2x − 4 sin 4x = 0
Перед нами обычное тригонометрическое уравнение и все, что нам требуется сделать в нем — это свести все тригонометрические функции к одному и тому же аргументу. Как правило, в таких задачах следует стремиться к наименьшему аргументу. Поэтому вспомним формулу двойного угла:
sin 2λ = 2 sin λ cos λ
В нашем случае это будет выглядеть так:
sin 4x = sin 2 · 2x = 2 · sin 2x · cos 2x
Обратите внимание! Мы пишем именно 2х, потому что в исходной формуле, которую мы разложили, вместо переменной λ стоит именно 2х.
Итак, с синусом двойного угла мы разобрались, перепишем наше уравнение с учетом этого факта. Получим:
4 cos 2x − 8 sin 2x cos 2x = 0
4 cos 2x (1 − 2 sin 2x · 1) = 0
Итак, мы разложили наше уравнение на множители. Теперь вспоминаем: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Запишем:
cos 2x = 0
1 − 2 sin 2x = 0
Первое уравнение решается элементарно:
2x = π/2 + πn, n ∈ Z
А со вторым уравнением будет немного посложнее:
sin 2x = 1/2
2x = π/6 + 2πn
2x = π − π/6 + 2πn
Напомню, что решение простейших тригонометрических уравнений, которые содержат синус, лучше записывать как совокупность из двух наборов корней.
Однако на этом решение уравнения еще не закончилось. Взгляните, мы нашли только 2х, а нужно найти просто х. Находим:
x = π/3 + πn/2;
x = π/12 + πn;
x = 5π/12 + πn.
Уравнение решено. Переходим к третьему шагу: необходимо отобрать корны, которые лежат на отрезке [0; π/3].
Для этого нам сначала потребуется начертить радар, а потом отметить на мне все три набора корней. На этом же отрезке отмечаем концы отрезка. Получим:
На самом деле из всего этого многообразия нас интересуют лишь две точки: π/4 и π/12. Все, третий шаг выполнен. Мы отобрали корни на отрезке.
А теперь возвращаемся к условию задачи и вспоминаем, что нам нужно найти наибольшее значение функции на отрезке. Т. е. нужно взять функцию
y = 2sin 2x + cos 4x
И подставить в нее следующие числа:
Затем из полученных четырех значений функции надо выбрать наибольшее.
Давайте решать. В первую очередь предлагаю подставить корни нашей производной, т. е. числа π/4 и π/12. Получим:
y(π/4) = 2 · sin 2 · π/4 + cos 4 · π/4 = 2 · sin π/2 + cos π = 2 · 1 − 1 = 1
Итак, y(π/4) = 1
Подставляем второе число — x = π/12:
y(π/12) = 2 · sin 2 · π/12 + cos 4 · π/12 = 2 · sin π/6 + cos π/3 = 2 · 1/2 + 1/2 = 1,5
Все, с корнями из производной мы разобрались, теперь считаем значение функции на концах отрезка:
y(0) = 2 · sin 0 + cos 0 = 2 · 0 + 1 = 1
Теперь подставляем правый конец отрезка:
y(π/3) = 2 · sin 2 · π/3 + cos 4 · π/3 = 2 · sin 2π/3 + cos 4π/3
Оба аргумента и в синусе, и в косинусе являются нестандартными значениями (их нет в классической таблице значений тригонометрических функций), поэтому давайте отметим их на тригонометрическом круге:
С помощью полученных данных вычисляем значение функции:
Это иррациональное число, которое нельзя записать в ответ. Следовательно, оно не является ответом к задаче.
Итого нам на выбор осталось три числа: y = 1; y = 1,5; y = 1. Требуется найти наибольшее значение. Следовательно, ответом будет являться y = 1,5. Все, задача решена.
В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на два ключевых факта в решении этой задачи. В первую очередь, речь идет о производной сложной функции. В реальных задачах из ЕГЭ по математике встречается лишь упрощенная версия формулы, которую мы записали в самом начале решения задачи.
Итак, запомните: если в табличной производной заменить переменную х на линейное выражение kx + b, то и в самой производной нужно везде вместо х подставить выражение kx + b. Кроме того, перед самой производной нужно добавить множитель k — тот саамый, который стоял перед х во время замены.
Это универсальное правило, и оно работает всегда. Давайте посмотрим. Например, у нас есть следующая функция:
y = x101
Возьмем большую степень, чтобы у вас не возникало соблазна раскрывать ее по формулам сокращенного умножения. А теперь мы хотим посчитать производную:
y = (kx + b)101
Как это сделать? Очень просто. Вспоминаем: производная функции y = x101 является табличной и легко считается:
y' = 101 · x101
Теперь, если вместо переменной х мы хотим подставить выражение kx + b, например, 5х + 7, то получим, что производная такой функции будет равна:
y' = 101 · (5x + 7)101 · 5
Последний множитель «5» появился из-за того, что вместо переменной х мы подставили линейную функцию 5х + 7, т. е. выражение, которое при х содержит множитель 5. Если бы перед их стоял коэффициент k = 10, мы умножили бы производную на 10.
При этом второе слагаемое — число b = 7 — никак не влияет на результат. Т.е. на итоговую производную влияет только коэффициент при х. Запомните это.
Второй важный момент касается отбора корней и решения тригонометрических уравнений, а конкретно — я бы хотел поговорить про решение тригонометрических уравнений, содержащих синус.
Как обычно нас учат записывать решение таких уравнений? Еще в школьных учебниках можно увидеть формулу:
sin x = a → x = (−1)n · arcsin a + πn, n ∈ Z
Естественно, многие ученики спросят: почему мы не используем эту формулу? Зачем разбивать эту формулу на какую-то совокупность, что-то там считать, усложняя себе задачу?
На самом деле такая запись имеет одно единственное преимущество — краткость. Во всем остальном работать с этой записью — сплошное мучение:
Чтобы избежать этих многочисленных проблем, просто записывайте решение синуса в виде совокупности из двух уравнений, так, как мы и сделали сегодня при решении нашей задачи.
Вот и все замечания. Я специально детально рассказывал каждый шаг решения — настолько детально, что сам допустил ошибку при вычислении производной. Но ничего страшного, мы заметили ошибку вовремя, и поэтому итоговый ответ и все выкладки получись правильными.:)
Желаю вам удачи при решении сложных задач на ЕГЭ по математике, тренируйтесь в решении задач, смотрите видеоуроки и сдавайте ЕГЭ на «отлично». А у меня на этом все.
