Задача B15: Решение сложных задач и производная частного

1 марта 2014

Сегодня мы продолжаем изучать задачи на наибольшее и наименьшее значение из ЕГЭ по математике. Теперь перед нами довольно серьезная задача, в которой придется использовать формулу производной частного. Итак:

Задача B15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; 1]:

Функция в задаче B15, для которой потребуется считать производную частного

Нахождение наименьшего значения функции на отрезке: универсальный алгоритм

В первую очередь вспомним: как вообще решаются задачи такого типа, в которых требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции? Решение таких задач состоит из нескольких этапов:

  1. В первую очередь, нам предстоит производную: f’;
  2. Затем мы приравниваем производную к нулю и находим корни. Эти точки являются кандидатами в точки максимума и минимума, т. е. кандидатами в экстремумы: f' = 0;
  3. Затем из всех найденных корней мы выбираем те, которые лежат у нас на отрезке. В нашем случае речь идет об отрезке [0; 1]. Следовательно, нам нужно найти такие x_{1}, x_{2}, которые, с одной стороны, являются корнями уравнения f’ = 0 (т. е. являются нулями производной), а с другой — лежат на отрезке [0; 1]: x_{1}, x_{2} [0; 1]
  4. На этом шаге допускается больше всего ошибок: мы подставляем в исходную функцию сначала концы отрезка — f(0), f(1) — а затем в эту же функцию подставляем нули производной — находим значения f(x_{1}), f(x_{2}).

Практика показывает, что, как правило, мы получаем только один корень. В этом корне как раз и возникает ответ ко всей задаче, т. е. наименьшее или наибольшее значение функции, но бывают исключения, поэтому концы отрезка тоже нужно подставлять.

Помните: далеко не всегда наибольшее или наименьшее значение функции достигается в точках максимума или минимума. Вполне возможно, что наибольшее или наименьшее значение возникнет на концах отрезка.

Решение задачи B15 по алгоритму

Давайте применим этот четырехступенчатый алгоритм к нашей функции:

Функция в задаче B15, для которой потребуется считать производную частного

Шаг 1: Считаем производную функции

Поскольку перед нами дробь, то сейчас нужно будет считать производную дроби. Напомню, что производная частного считается по следующей формуле:

Правила вычисления производной частного

Применяем это правило для нашей функции. Считаем производную:

Считаем производную частного для данной функции

Разбираемся с числителем. Первая мысль, которая возникает — раскрыть все скобки и привести слагаемые. Но это не самый оптимальный вариант, потому что есть более красивый и быстрый путь. Давайте заметим: первая скобка — (−1 + 2х), а последняя скобка — (1 − 2х), т. е. эти скобки противоположны друг другу. С помощью минуса мы можем поменять знаки. Смотрите:

Функция в задаче B15, для которой потребуется считать производную частного

Теперь мы видим, что в первом и во втором слагаемом есть общий множитель, а именно — (−1 + 2х). Давайте вынесем этот общий множитель за скобку:

Выносим за скобку общий множитель в производной частного

Готово! Производная частного найдена.

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение

Мы получили довольно простую конструкцию, которая является нашей производной. Переходим ко второму шагу: приравниваем эту конструкцию к нулю и считаем корни:

Решаем дробно-рациональное уравнение

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Множитель «2» в этом случае не может быть равен нулю, поэтому:

−1 + 2x = 0;
x = 1/2.

Разумеется, при таком х знаменатель будет отличен от нуля, потому что при подстановке у нас получится 5/4, что явно не является нулем. Следовательно, x = 1/2 является единственным корнем (когда производная равна нулю).

Шаг 3: Отбор корней на отрезке

Переходим к третьему шагу: отбираем корни, лежащие на отрезке [0; 1]. В нашем случае корень 1/2 действительно принадлежит этому отрезку:

1/2 ∈ [0; 1]

Следовательно, мы смело можем переходить к четвертому шагу и подставлять все три числа, а именно — корень 1/2 и концы отрезка 0 и 1 — в исходную функцию:

Функция в задаче B15, для которой потребуется считать производную частного

Шаг 4: Подстановка значений переменной в исходную функцию

Давайте подставлять. Начнем с самого сложного — числа x = 1/2. Считаем:

Подставляем в исходную функцию корень производной − число 1/2

Теперь подставляем x = 0:

Подставляем в исходную функцию левый конец отрезка − число 0

Наконец подставляем х = 1, т. е. правый конец отрезка:

Подставляем в исходную функцию левый конец отрезка − число 1

У нас получилось то же самое число.

Вычисление наибольшего значения функции на отрезке

Итого у нас получилось три значения функции, т. е. три кандидата на ответ. На самом деле их два, потому что два последних совпадают. Получаем два числа: y = 0,6 и y = 1.

Давайте вернемся к исходному условию задачи, посмотрим, что от нас требуется. А от нас требуется найти наименьшее значение функции. Т. е. из двух полученных чисел — 0,6 и 1 — нужно выбрать наименьшее. Очевидно, что ответом будет y = 0,6. Все, задача решена.

Важное замечание о наибольшем и наименьшем значении функции

Единственный момент, на который я бы хотел обратить ваше внимание, заключается в следующем. Давайте еще раз вернемся к нашему алгоритму:

  1. Найти производную: f’;
  2. Решить уравнение: f’ = 0;
  3. Отобрать корни на отрезке: x_{1}, x_{2} ∈ [0; 1];
  4. Вычислить значение функции в оставшихся нулях производной и на концах отрезка: f(0); f(1); f(x_{1}); f(x_{2}).

На четвертом пункте мы считаем значение функции не только в нулях производной, но еще и на концах отрезка. У многих учеников возникнет вопрос: зачем вообще считать значение функции на концах отрезка, если и так ясно, что наибольшее или наименьшее значение принимается в нулях производной?

Хочу вас предупредить: это очень частое и ошибочное заблуждение! Потому что при наличии любых ограничений отнюдь не всегда наибольшее или наименьшее значение функции достигается в точке максимума или минимума.

Рассмотрим простой пример. Взгляните на такую функцию:

Пример функции, у которой наименьше и наибольшее значение достигаются не в точкам минимума и максимума

Ну и где достигается наибольшее и наименьшее значение этой функции, а где — точки максимума и минимума? Точка минимума очевидна — назовем ее x0. В ней убывание функции сменяется возрастанием. И напротив, точка x1 является точкой максимума, потому что в ней возрастание функции сменяется убыванием.

Однако максимальное значение функции достигается отнюдь не в точке x = x1, а на конце отрезка — именно в точке x = b функция поднимается на максимальную высоту. И наоборот: наименьшее значение достигается именно в точке x = a, а никак не в точке минимума x = x0. Поэтому помните: наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке совсем необязательно достигается в точках максимума и минимума. Это значение также может достигаться на концах отрезка.

Далеко не всегда наибольшее или наименьшее значение функции достигается в точке экстремума! Очень часто это происходит на концах отрезка.

Применительно к задачам из ЕГЭ по математике можно сказать следующее: такие графики функций, когда наибольшее значение оказывается на концах отрезка, в настоящих задачах из ЕГЭ встречаются крайне редко. Однако они все-таки существуют, в том числе в настоящем ЕГЭ, а не только в пробниках. Поэтому будет очень обидно, если, зная, как решается задача, вы, тем не менее, допустите в ней ошибку — просто потому, что не проверите концы отрезка.

Удачи вам в подготовке к ЕГЭ по математике, оставайтесь с нами, решайте задачи, смотрите видеоуроки — и никакие (даже самые сложные!) задачи по математике вам будут не страшны. А у меня на сегодня все.:)

Смотрите также:
  1. B15: Линейные функции и производная частного
  2. Задача B15 — исследование функции с помощью производной
  3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
  4. Основное тригонометрическое тождество
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 8 вариант
  6. Деление многочленов уголком