Задача B7 — преобразование логарифмических и показательных выражений

21 марта 2011

В задаче B7 дается некоторое выражение, которое нужно упростить. В результате должно получиться обычное число, которое можно записать в бланке ответов. Все выражения условно делятся на три типа:

  1. Логарифмические,
  2. Показательные,
  3. Комбинированные.

Показательные и логарифмические выражения в чистом виде практически не встречаются. Однако знать, как они вычисляются, совершенно необходимо.

В целом, задача B7 решается достаточно просто и вполне под силу среднему выпускнику. Отсутствие четких алгоритмов компенсируется в ней стандартностью и однообразностью. Научиться решать такие задачи можно просто за счет большого количества тренировок.

Логарифмические выражения

Подавляющее большинство задач B7 содержат логарифмы в том или ином виде. Эта тема традиционно считается сложной, поскольку ее изучение приходится, как правило, на 11 класс — эпоху массовой подготовки к выпускным экзаменам. В результате многие выпускники имеют весьма смутное представление о логарифмах.

Но в этой задаче никто и не требует глубоких теоретических познаний. Нам будут встречаться лишь самые простые выражения, которые требуют незамысловатых рассуждений и вполне могут быть освоены самостоятельно. Ниже приведены основные формулы, которые надо знать, чтобы справиться с логарифмами:

  1. loga x + loga y = loga (x · y)
  2. loga x − loga y = loga (x : y)
  3. loga xn = n · loga x
  4. Вынесение степени из основания логарифма
  5. Переход к новому основанию в логарифме

Кроме того, надо уметь заменять корни и дроби на степени с рациональным показателем, иначе в некоторых выражениях выносить из под знака логарифма будет просто нечего. Формулы замены:

Переход от корня к степени и от дроби к степени

Задача. Найти значения выражений:
log6 270 − log6 7,5
log5 775 − log5 6,2

Логарифм от другого логарифмического выражения

Первые два выражения преобразуются как разность логарифмов:
log6 270 − log6 7,5 = log6 (270 : 7,5) = log6 36 = 2;
log5 775 − log5 6,2 = log5 (775 : 6,2) = log5 125 = 3.

Для вычисления третьего выражения придется выделять степени — как в основании, так и в аргументе. Для начала найдем внутренний логарифм:

Вычисление внутреннего логарифма с венесением степени

Затем — внешний:

Вычисление двойного логарифма

Конструкции вида loga logb x многим кажутся сложными и непонятыми. А между тем, это всего лишь логарифм от логарифма, т.е. loga (logb x). Сначала вычисляется внутренний логарифм (положим logb x = c), а затем внешний: loga c.

Показательные выражения

Будем называть показательным выражением любую конструкцию вида ak, где числа a и k — произвольные постоянные, причем a > 0. Методы работы с такими выражениями достаточно просты и рассматриваются на уроках алгебры 8-го класса.

Ниже приведены основные формулы, которые обязательно надо знать. Применение этих формул на практике, как правило, не вызывает проблем.

  1. an · am = an + m;
  2. an / am = anm;
  3. (an)m = an · m;
  4. (a · b)n = an · bn;
  5. (a : b)n = an : bn.

Если встретилось сложное выражение со степенями, и не понятно, как к нему подступиться, используют универсальный прием — разложение на простые множители. В результате большие числа в основаниях степеней заменяются простыми и понятными элементами. Затем останется лишь применить указанные выше формулы — и задача будет решена.

Задача. Найти значения выражений: 79 · 311 : 218, 247 : 36 : 165, 306 : 65 : 252.

Решение. Разложим все основания степеней на простые множители:
79 · 311 : 218 = 79 · 311 : (7 · 3)8 = 79 · 311 : (78 · 38) = 79 · 311 : 78 : 38 = 7 · 33 = 189.
247 : 36 : 165 = (3 · 23)7 : 36 : (24)5 = 37 · 221 : 36 : 220 = 3 · 2 = 6.
306 : 65 : 252 = (5 · 3 · 2)6 : (3 · 2)5 : (52)2 = 56 · 36 · 26 : 35 : 25 : 54 = 52 · 3 · 2 = 150.

Комбинированные задачи

Если знать формулы, то все показательные и логарифмические выражения решаются буквально в одну строчку. Однако в задаче B7 степени и логарифмы могут объединяться, образуя довольно неслабые комбинации.

Из определения логарифма вытекают две формулы, которые постоянно встречаются в реальных задачах. Эти формулы позволяют заменить знак логарифма нормальными числами:

  1. loga an = n
  2. Избавление от знака логарифма

В чистом виде они, как правило, не встречаются, поэтому общая схема решения комбинированных задач выглядит так:

  1. Записать там, где это возможно, числа в виде степеней. Например, 25 = 52, 16 = 24, 27 = 33... дальше сами. Корни и дроби тоже надо заменить степенями по уже известным формулам:
    Переход от корня к степени и от дроби к степени
  2. Избавиться от степеней в основаниях логарифмов, если они там есть. Затем все множители, стоящие перед знаком логарифма, нужно внести в аргумент. Например, 5 · log7 2 = log7 25 = log7 32.
  3. Воспользоваться формулами замены логарифмов, которые приведены выше. Как правило, этого будет достаточно.

На первый взгляд эта схема кажется громоздкой и далеко не оптимальной. Но стоит немного потренироваться — и комбинированные задачи будут решаться за несколько секунд. Особо продвинутые решают их устно.

Задача. Найти значения выражений:

Три комбинированных выражения

Будем действовать по схеме. Для первого выражения все очевидно:

Вычисление логарифма по основанию 7

Для второго выражения заметим, что

Вычисление логарифма по основанию 8

Поэтому имеем:

Итоговое логарифмическое выражение

Аналогично поступим с третьим выражением:

Вычисление логарифма по основанию 25

В результате получим:

Дробно-рациональное выражение с логарифмом
Смотрите также:
  1. Задача B3 — работа с графиками
  2. Системы линейных уравнений: основные понятия
  3. Тест к уроку «Десятичные дроби» (1 вариант)
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители