Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла

15 января 2014

Очень часто в задачах C1 из ЕГЭ по математике ученикам предлагают решить тригонометрическое уравнение, содержащее формулу двойного угла.

Сегодня мы вновь будем разбирать задачу С1 и, в частности, разберем довольно нестандартный пример, который одновременно вместил в себе и формулу двойного угла, и даже однородное уравнение. Итак:

Решите уравнение. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

sinx+sin2x2cos2x2,x∈[−2 π ;− π 2]

\sin x+\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}-\frac{{{\cos }^{2}}x}{2},x\in \left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]

Полезные формулы для решения

Прежде всего, хотел бы напомнить, что все задания С1 решаются по одной и той же схеме. В первую очередь, исходную конструкцию нужно преобразовать в выражении, в котором содержится синус, косинус или тангенс:

sinx=a

\sin x=a

cosx=a

\cos x=a

tgx=a

tgx=a

Именно в этом состоит основная сложность задания С1. Дело в том, что для каждого конкретного выражения требуются свои выкладки, с помощью которых можно перейти от исходника к таким простейшим конструкциям. В нашем случае это формула двойного угла. Давайте я запишу ее:

cos2x=cos2x−sin2x

\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x

Однако в нашем задании нет cos2x{{\cos }^{2}}x или sin2x{{\sin }^{2}}x, зато естьsin2x2\frac{{{\sin }^{2}}x}{2} и cos2x2\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}.

Решаем задачу

Что же делать с этими выкладками? Давайте мы немножко схитрим, и в наши формулы синуса и косинуса двойного угла введем новую переменную:

x=t2

x=\frac{t}{2}

Мы запишем такую конструкцию с синусом и косинусом:

cos2⋅t2=cos2t2sin2t2

\cos 2\cdot \frac{t}{2}=\frac{{{\cos }^{2}}t}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}t}{2}

Или другими словами:

cost=cos2t2sin2t2

\cos t=\frac{{{\cos }^{2}}t}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}t}{2}

Возвращаемся к нашему исходному заданию. Давайте sin2x2\frac{{{\sin }^{2}}x}{2} перенесем вправо:

sinx=cos2x2sin2x2

\sin x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}

Справа стоит именно те самые выкладки, которые мы только что записали. Давайте мы преобразуем их:

sinx=cosx

\sin x=\cos x

А теперь внимание: перед нами однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Смотрите, у нас нет никаких слагаемых, состоящих просто из чисел и просто из xx, у нас есть только синус и косинус. Также у нас нет квадратных тригонометрических функций, все функции идут в первой степени. Как решаются такие конструкции? В первую очередь, давайте предположим, что cosx=0\cos x=0.

Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:

sin2x+cos2x=1

{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1

sin2x+0=1

{{\sin }^{2}}x+0=1

sinx=±1

\sin x=\pm 1

Если эти числа, 0 и ±1, мы подставим в исходную конструкцию, то получим следующее:

±1 = 0

\pm 1\text{ }=\text{ }0

Мы получили полный бред. Следовательно, наше предположение, что cosx=0\cos x=0 неверно, cosx\cos x не может быть равен 0 в данном выражении. А если cosx\cos x не равен 0, то давайте разделим обе стороны на cosx\cos x:

sinxcosx=1

\frac{\sin x}{\cos x}=1

sinxcosx=tgx

\frac{\sin x}{\cos x}=tgx

tgx=1

tgx=1

И вот мы получили долгожданное простейшее выражение вида tgx=atgx=a. Прекрасно, решаем его. Это табличное значение:

x= π 4+ π n,n˜∈Z

x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n˜\in Z

Мы нашли корень, мы решили первую часть задачи, т. е. честно заработали один первичный балл из двух.

Переходим ко второй части: найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку, а, точнее, отрезку

[\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]\]. Предлагаю, как и в прошлый раз решать это выражение графически, т. е. нарисовать окружность, отметить в ней начало, т. е. 0, а также концы отрезка: 

На отрезке

−2 π ;−π2

-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\pi }{2} нужно найти все значения, которые принадлежат

 π 4+ π n

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n. А теперь самое веселое: дело в том, что сама точка  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} не принадлежит отрезку

[−2 π ;− π 2],

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right], это очевидно:

 π 4˜[−2 π ;−  π 2]

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\notin ˜\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\text{ }\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]

Уже хотя бы потому, что оба конца этого отрезка отрицательные, а число  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} положительное, но с другой стороны, какие-то значения вида

 π 4+ π n

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n все-таки принадлежат нашему отрезку. Так как же их выделить? Очень просто: берем конец отрезка

−2 π 

-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } и прибавляем  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} , т. е. все происходит то же самое, как если бы мы начали отчет не от 0, а от −2 π -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }, и у нас найдется первая точка:

x=−2 π + π 4=−7 π 4

x=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

Теперь второе число:

x=−2 π + π 4+ π =−3 π 4

x=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

Это и есть второе значение. Других корней нет, потому что мы сами при их разметке и при отметке нашего отрезка ограничения обнаружили, что внутри этого отрезка лежат лишь два вида —  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} и  π 4+ π \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }. Эти точки мы и наши. Выписываем ответ:

7 π 4;−3 π 4

-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

За такое решение вы получите два первичных балла из двух возможных.

Что нужно помнить для правильного решения

Еще раз ключевые шаги, которые необходимо выполнить. В первую очередь, нужно знать выкладки двойного угла синуса или косинуса, в частности, именно в нашей задаче, косинус двойного угла. Кроме того, после его применения необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение. Решается оно довольно просто, однако необходимо написать и проверить, что cosx\cos x в нашей конструкции не равен 0. После тригонометрического уравнения мы получаем элементарное выражение, в нашем случае это tgx=1tgx=1, которое легко решается по стандартным формулам, известным еще с 9-10 класса. Таким образом, мы решим пример и получим ответ на первую часть задания — множество всех корней. В нашем случае это

 π 4+ π n,n∈Z

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in ˜Z. Затем остается лишь отобрать корни, принадлежащие отрезку

[−2 π ;− π 2]

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]. Для этого мы снова чертим тригонометрический круг, отмечаем на нем наши корни и наш отрезок, а затем отсчитываем от конца то самое  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} и  π 4+ π \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }, которые получились во время отметки всех корней вида  π 4+ π n\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n. После несложного счета мы получили два конкретных корня, а, именно,

7 π 4

-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} и

3 π 4

-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}, которые являются ответом ко второй части задачи, т. е. корнями, принадлежащими отрезку

[−2 π ;− π 2]

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right].

Ключевые моменты

Чтобы без проблем справиться с задачами C1 такого типа, запомните две основные формулы:

  1. Синус двойного угла:

    sin2 α =2sin α cos α 

    \sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=2\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } — эта формула для синусов всегда работает именно в таком виде;

  2. Косинус двойного угла: cos2 α =cos2 α −sin2 α \cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ =}co{{s}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-si{{n}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } — а вот тут возможны варианты.

С первой все понятно. Но что за варианты возможны во втором случае? Дело в том, что косинус двойного угла можно записать по-разному:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α 

\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=2\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-1=1-2\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }

Эти равенства следуют из основного тригонометрического тождества. Ну и какое равенство выбрать при решении конкретного примера C1? Все просто: если вы планируете свести конструкцию к синусам, то выбирайте последнее разложение, в котором присутствует только

sin2 α 

\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }. И наоборот, если хотите свести все выражение к работе с косинусами, выбирайте второй вариант — тот, где косинус является единственной тригонометрической функцией.

Смотрите также:
  1. Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант
  2. Задача C1: тригонометрические уравнения с ограничением
  3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 5 (без производных)
  5. Задачи B6 с монетами
  6. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов