• Репетитор
• Семинары
• ЕГЭ-2013
• Школьникам
• Студентам
• Блог
• Обо мне

Задача B11 — исследование функции с помощью производной

В задаче B11 предлагается исследовать на экстремумы функцию, заданную формулой. Это стандартная задача по математическому анализу, и ее сложность сильно меняется зависимости от рассматриваемой функции: некоторые из них решаются буквально устно, другие же требуют серьезных размышлений.

Прежде чем изучать методы решения, надо усвоить некоторые термины из области математического анализа. Итак, в задаче B11 требуется найти с помощью производной следующие величины:

1. Точки локального максимума (минимума) — значение переменной, при которой функция достигает своей наибольшей (наименьшей) величины. Такие точки еще называются точками экстремума.
2. Глобальный максимум (минимум) функции — наибольшее (наименьшее) значение функции при указанных ограничениях. Другое название — глобальные экстремумы.

При этом глобальные экстремумы обычно ищутся не на всей области определения функции, а лишь на некотором отрезке [a; b]. Важно понимать, что глобальный экстремум и значение функции в точке экстремума далеко не всегда совпадают. Поясним это на конкретном примере:

• Задача. Найти точку минимума и минимальное значение функции y = 2x³ − 3x² − 12x + 1 на отрезке [−3; 3].

  Решение. Сначала найдем точку минимума, для чего вычислим производную:
  y’ = (2x³ − 3x² − 12x + 1)’ = 6x² − 6x − 12.

  Найдем критические точки, решив уравнение y’ = 0. Получим стандартное квадратное уравнение:
  y’ = 0 ⇒ 6x² − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x₁ = −1, x₂ = 2.

  Отметим эти точки на координатной прямой, добавим знаки производной и ограничения — концы отрезка:

  

  Масштаб картинки не имеет значения. Самое главное — отметить точки в правильной последовательности. Из школьного курса математики известно, что в точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс. Отсчет всегда идет слева направо — в направлении положительной полуоси. Поэтому точка минимума одна: x = 2.

  Теперь найдем минимальное значение функции на отрезке [−3; 3]. Оно достигается либо в точке минимума (тогда она становится точкой глобального минимума), либо на конце отрезка. Заметим, что на интервале (2; 3) производная всюду положительна, а значит y(3) > y(2), поэтому правый конец отрезка можно не рассматривать. Остались лишь точки x = −3 (левый конец отрезка) и x = 2 (точка минимума). Имеем:
  y(−3) = 2(−3)³ − 3(−3)² − 12(−3) + 1 = −44;
  y(2) = 2*2³ − 3*2² − 12*2 + 1 = −19.

  Итак, наименьшее значение функции достигается на конце отрезка и равно −44.

  Ответ: x_min = 2; y_min = −44

Из приведенных рассуждений следует важный факт, о котором многие забывают. Функция принимает максимальное (минимальное) значение не обязательно в точке экстремума. Иногда такое значение достигается на конце отрезка, и производная там не обязана равняться нулю.

Схема решения задач B11

Если в задаче B11 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], выполняем следующие действия:

1. Найти производную функции: f’(x).
2. Решить уравнение f’(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому.
3. Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка [a; b]. Оставшиеся числа обозначим x₁, x₂, ..., x_n — их, как правило, будет немного.
4. Подставим концы отрезка [a; b] и точки x₁, x₂, ..., x_n в исходную функцию. Получим набор чисел f(a), f(b), f(x₁), f(x₂), ..., f(x_n), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение — это и будет ответ.

Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Их тоже можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию — даже если уравнение f’(x) = 0 не имело решений.

Также следует внимательно читать условие задачи. Когда требуется найти значение функции (максимальное или минимальное), концы отрезка и точки x₁, x₂, ..., x_n подставляются именно в функцию, а не в ее производную.

• Задача. Найти наибольшее значение функции y = x³ + 3x² − 9x − 7 на отрезке [−5; 0].

  Решение. Для начала найдем производную: y’ = (x³ + 3x² − 9x − 7)’ = 3x² + 6x − 9.

  Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 3x² + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

  Вычеркиваем корень x = 1, потому что он не принадлежит отрезку [−5; 0].

  Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3:
  y(−5) = (−5)³ + 4·(−5)² − 9·(−5) − 7 = −12;
  y(−3) = (−3)³ + 4·(−3)² − 9·(−3) − 7 = 20;
  y(0) = 0³ + 4·0² − 9·0 − 7 = −7.

  Очевидно, наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.

  Ответ: 20

Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума функции f(x) на отрезке [a; b]. Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:

1. Найти производную функции: f’(x).
2. Решить уравнение f’(x) = 0. Если производная — дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим x₁, x₂, ..., x_n.
3. Отметить x₁, x₂, ..., x_n на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок [a; b], отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами.
4. Среди оставшихся точек ищем такую, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка минимума). Такая точка должна быть только одна — это и будет ответ.

Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.

Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x₁, x₂, ..., x_n. Помните: при переходе через корень четной кратности знак у производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки всегда просматриваются слева направо, т.е. по направлению числовой оси.

• Задача. Найти точку максимума функции

  

  на отрезке [−8; 8].

  Решение. Найдем производную:

  

  Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю производную и ее знаменатель:
  y’ = 0 ⇒ x² − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
  x² = 0 ⇒ x = 0 (корень второй кратности).

  Отметим точки x = −5, x = 0 и x = 5 на координатной прямой, расставим знаки и границы:

  

  Очевидно, что внутри отрезка осталась лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.

  Ответ: −5

Еще раз поясним, чем отличаются точки экстремума от самих экстремумов. Точки экстремума — это значения переменных, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремумы — это значения самих функций, максимальные или минимальные в некоторой своей окрестности.

Помимо обычных многочленов и дробно-рациональных функций, в задаче B11 встречаются следующие виды выражений:

1. Иррациональные функции,
2. Тригонометрические функции,
3. Показательные функции,
4. Логарифмические функции.

С иррациональными функциями проблем, как правило, не возникает. Остальные случаи стоит рассмотреть более подробно.

Тригонометрические функции

Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение sin x = 0 имеет корни x = πn, где n ∈ Z. Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?

Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n. Ведь в задачах B11 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение — отрезок [a; b]. Поэтому для начала берем n = 0, а затем увеличиваем n до тех пор, пока соответствующий корень не «вылетит» за пределы отрезка [a; b]. Аналогично, уменьшая n, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.

Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, на отрезке [a; b] не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.

• Задача. Найти точку максимума функции y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, принадлежащую отрезку [−π/3; π/3].

  Решение. Вычисляем производную: y’ = (sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x·cos x = (1 − 5x)·cos x.

  Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x)·cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 или x = π/2 + πn, n ∈ Z.

  С корнем x = 0,2 все понятно, а вот формула x = π/2 + πn требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные значения n, начиная с n =  0.

  n = 0 ⇒ x = π/2. Но π/2 > π/3, поэтому корень x = π/2 не входит в исходный отрезок. Кроме того, чем больше n, тем больше x, поэтому нет смысла рассматривать n > 0.

  n = −1 ⇒ x = − π/2. Но −π/2 < −π/3 — этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним — и все корни для n < −1.

  Получается, что на отрезке  [−π/3; π/3] лежит только корень x = 0,2. Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:

  

  Чтобы удостовериться, что справа от x = 0,2 производная действительно отрицательна, достаточно подставить в y’ значение x = π/4. Мы же просто отметим, что в точке x = 0,2 производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно это точка максимума.

  Ответ: 0,2

• Задача. Найти наибольшее значение функции y = 4tg x − 4x + π − 5 на отрезке [−π/4; π/4].

  Решение. Вычисляем производную: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

  Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

  Выделим из этой формулы корни, подставляя конкретные n, начиная с n = 0:
  n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
  n = 1 ⇒ x = π. Но π > π/4, поэтому корень x = π и значения n > 1 надо вычеркнуть.
  n = −1 ⇒ x = −π. Но π < −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

  Из всего многообразия корней остался лишь один: x = 0. Поэтому вычисляем значение функции для x = 0, x = π/4 и x = −π/4.
  y(0) = 4tg 0 − 4·0 + π − 5 = π − 5;
  y(π/4) = 4tg (π/4) − 4·π/4 + π − 5 = 1;
  y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4·(−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

  Теперь заметим, что π = 3,14... < 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 < 0 и 2π − 9 < 8 − 9 < 0. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее — очевидно, это y = 1.

  Ответ: 1

Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел π − 5, 1 и 2π − 9 в бланк ответов может быть записана лишь единица. Действительно, как написать в бланке, скажем, число π? А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B11.

Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.

• Задача. Найти наименьшее значение функции y = 7sin x − 8x + 5 на отрезке [−3π/2; 0].

  Решение. Сначала находим производную: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.

  Попробуем решить уравнение: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Но значения cos x всегда лежат на отрезке [−1; 1], а 8/7 > 1. Поэтому корней нет.

  Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу — вычисляем значение функции:
  y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
  y(0) = 7sin 0 − 8·0 + 5 = 5.

  Поскольку число 12π + 12 в бланк ответов не записать, остается лишь y = 5.

  Ответ: 5

Показательные функции

Вообще говоря, показательная функция — это выражение вида y = a^x, где a > 0. Но в задаче B11 встречаются только функции вида y = e^x и, в крайнем случае, y = e^kx + b. Причина в том, что производные этих функций считаются очень легко:

1. (e^x)" = e^x. Ничего не изменилось.
2. (e^kx + b)" = k·e^kx + b. Просто добавляется множитель, равный коэффициенту при переменной x. Это частный случай производной сложной функции.

Все остальное абсолютно стандартно. Разумеется, настоящие функции в задачах B11 выглядят более сурово, но схема решения от этого не меняется. Рассмотрим пару примеров, выделяя лишь основные моменты решения — без основательных рассуждений и комментариев.

• Задача. Найти наименьшее значение функции y = (x² − 5x + 5)e^x − 3 на отрезке [−1; 5].

  Решение. Производная: y’ = ((x² − 5x + 5)e^x − 3)’ = ... = (x² − 3x)e^x − 3 = x(x − 3)e^x − 3.

  Находим корни: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e^x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

  Оба корня лежат на отрезке [−1; 5]. Осталось найти значение функции во всех точках:
  y(−1) = ((−1)² − 5·(−1) + 5)e^{− 1 − 3} = ... = 11·e⁻⁴;
  y(0) = (0² − 5·0 + 5)e^0 − 3 = ... = 5·e⁻³;
  y(3) = (3² − 5·3 + 5)e^3 − 3 = ... = −1;
  y(5) = (5² − 5·5 + 5)e^5 − 3 = ... = 5·e².

  Из четырех полученных чисел в бланк можно записать лишь y = −1. К тому же, это единственное отрицательное число — оно и будет наименьшим.

  Ответ: −1

• Задача. Найти наибольшее значение функции y = (2x − 7)·e^8 − 2x на отрезке [0; 6].

  Решение. Производная: y’ = ((2x − 7)·e^8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x)·e^8 − 2x = 4(4 − x)·e^8 − 2x.

  Находим корни: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x)·e^8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

  Корень x = 4 принадлежит отрезку [0; 6]. Ищем значения функции:
  y(0) = (2·0 − 7)e^8 − 2·0 = ... = −7·e⁸;
  y(4) = (2·4 − 7)e^8 − 2·4 = ... = 1;
  y(6) = (2·6 − 7)e^8 − 2·6 = ... = 5·e⁻⁴.

  Очевидно в качестве ответа может выступать лишь y = 1.

  Ответ: 1

Логарифмические функции

По аналогии с показательными функциями, в задаче B11 встречаются только натуральные логарифмы, поскольку их производная легко считается:

1. (ln x)’ = 1/x;
2. (ln(kx + b))’ = k/(kx + b). В частности, если b = 0, то (ln(kx))’ = 1/x.

Таким образом, производная всегда будет дробно-рациональной функцией. Остается лишь приравнять эту производную и ее знаменатель к нулю, а затем решить полученные уравнения.

Для поиска максимального или минимального значения логарифмической функции помните: натуральный логарифм обращается в «нормальное» число только в точках вида eⁿ. Например, ln 1 = ln e⁰ = 0 — это логарифмический ноль, и чаще всего решение сводится именно к нему. В остальных случаях «убрать» знак логарифма невозможно.

• Задача. Найти наименьшее значение функции y = x² − 3x + ln x на отрезке [0,5; 5].

  Решение. Считаем производную:

  

  Находим нули производной и ее знаменателя:
  y’ = 0 ⇒ 2x² − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
  x = 0 — тут решать нечего.

  Из трех чисел x = 0, x = 0,5 и x = 1 внутри отрезка [0,5; 5] лежит только x = 1, а число x = 0,5 является его концом. Имеем:
  y(0,5) = 0,5² − 3·0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
  y(1) = 1² − 3·1 + ln 1 = −2;
  y(5) = 5² − 3·5 + ln 5 = 10 + ln 5.

  Из полученных трех значений лишь y = −2 не содержит знака логарифма — это и будет ответ.

  Ответ: −2

• Задача. Найти наибольшее значение функции y = ln(6x) − 6x + 4 на отрезке [0,1; 3].

  Решение. Вычисляем производную:

  

  Выясняем, когда производная или ее знаменатель равны нулю:
  y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
  x = 0 — уже решено.

  Вычеркиваем число x = 0, поскольку оно лежит за пределами отрезка [0,1; 3]. Считаем значение функции на концах отрезка и в точке x = 1/6:
  y(0,1) = ln(6·0,1) − 6·0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
  y(1/6) = ln(6·1/6) − 6·1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
  y(3) = ln(6·3) − 6·3 + 4 = ln 18 − 14.

  Очевидно, только y = 3 может выступать в качестве ответа — остальные значения содержат знак логарифма и не могут быть записаны в бланк ответов.

  Ответ: 3

Смотрите также

Задача B8 — геометрический смысл производной