Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии

9 июля 2013

Внимание! Еще одна часть видеоурока находится ниже!

Когда вы решаете квадратное уравнение относительно синуса или косинуса, то в ответе получается много отдельных множеств, работать с которыми крайне неудобно. Поэтому сегодня мы научимся объединять их, научимся искать симметрию в наборах корней и упрощать себе ответы, а, следовательно, и работу с множествами.

На самом деле существует два способа упростить решение квадратных тождеств. Назовем их условно геометрическим и алгебраическим. Алгебраический подход рассказывается в школе, но большинство учеников пропускают этот способ мимо ушей. Поэтому сегодняшний видео урок будет состоять из двух частей: второй — целиком посвященной геометрическому подходу, когда мы отмечаем корни на тригонометрическом круге, и первой части — в ней рассказывается о формулах понижения степеней. Итак, начнем.

Алгебраический подход

Сейчас мы будем использовать только алгебраический подход. Все, что нам потребуется для решения — это формула косинуса двойного угла:

\[\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x-1\]

Давайте немного преобразуем ее:

\[\cos 2x+1=2{{\cos }^{2}}x\]

\[{{\cos }^{2}}x=\frac{\cos 2x+1}{2}\]

\[{{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\]

Но как мы знаем, формулу косинуса двойного угла можно переписать и по-другому, а именно:

\[\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x\]

Давайте выразим отсюда $2{{\sin }^{2}}x$:

\[2{{\sin }^{2}}x=1-\cos 2x\]

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\]

Вот эти две конструкции сейчас мы и будем использовать.

Решаем реальные задачи

Задача №1

\[{{\cos }^{2}}x=\frac{3}{4}\]

Заменяем ${{\cos }^{2}}x$:

\[\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{3}{4}\]

Воспользуемся основным свойством пропорции:

\[\left( 1+\cos 2x \right)\cdot 4=6\]

\[4+4\cos 2x=6\]

\[4\cos 2x=2\]

\[\cos 2x=\frac{1}{2}\]

Решаем обычное тригонометрическое тождество:

\[2=\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z\]

Это обычная формула, с помощью которой решаются подобные конструкции. Но у нас известно $2x$, а не $x$, поэтому разделим обе стороны на 2:

\[2=\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z\]

Мы нашли корни тригонометрического уравнения.

Задача №2

\[{{\sin }^{2}}x=1\]

Применяем нашу вторую конструкцию:

\[\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{1}\]

Снова получили пропорцию, перемножаем крест-накрест:

\[1-\cos 2x=2\]

\[-\cos 2x=1\]

\[\cos 2x=1\]

\[2=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z\]

\[=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z\]

Мы снова получили корни уравнения.

Задача №3

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1}{2}\]

Снова применяем наши выкладки:

\[\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}\]

\[1-\cos 2x=1\]

\[-\cos 2x=0\]

\[\cos 2x=0\]

\[2=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z\]

\[=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n}{2},n\in Z\]

Если вы сравните эти ответы с тем, что мы получили в предыдущей части этого урока, то обнаружите, что ответы абсолютно одинаковые. Мы получили один и тот же результат, используя разные подходы — геометрический с помощью тригонометрического круга и алгебраический с помощью формул понижения степеней.

Кстати, почему формулы называются формулами понижения степеней? Смотрите, был ${{\cos }^{2}}x$, а стал просто $\cos 2x$. То же самое и здесь: был ${{\sin }^{2}}x$, а стал просто $\sin 2x$, опять же без квадрата. Эти выкладки сокращают объем вычислений, но чтобы воспользоваться ними, их нужно знать. Кроме того, на последнем шаге везде выполняется деление на 2. Здесь тоже очень часто допускают ошибку. Нужно делить оба слагаемых на два. Каждое из слагаемых нужно разделить на два, и тогда уравнение относительно синуса и косинуса становится элементарным. 

Геометрический подход

Реальные задачи

Пример №1

\[{{\cos }^{2}}=\frac{3}{4}\]

Сначала избавляемся от квадрата. Как всегда, если функция в квадрате равна какому-либо числу, то сама функция равна либо корню из этого числа, либо «минус» корню из этого числа:

\[{{f}^{2}}=a\]

\[\left[ \begin{align}& f=\sqrt{a} \\& f=-\sqrt{a} \\\end{align} \right.\]

\[a\ge 0\]

Решаем уравнение, чтобы найти корни тригонометрического выражения:

\[\cos x=\sqrt{\frac{3}{4}}\]

\[\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[x=\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+2\pi n\]

В контексте нашего сегодняшнего урока все числа принадлежат множеству целых чисел.

\[\cos x=-\sqrt{\frac{3}{4}}\]

\[\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[x=\pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k\]

\[x=\pm \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\pi }{6} \right)+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k\]

\[x=\pm \frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k\]

Вот мы и получили два множества. Давайте отметим эти числа на тригонометрической окружности и найдем корни: 

Все наше множество сводится к четырем точкам. А теперь заметим, что $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$ и $-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$ симметричны относительно начала координат. В этом легко убедиться, если вычесть из одного числа другое. Например:

\[\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}-\left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\]

Другими словами, расстояние между этими числами по окружности равно $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$.

То же самое можно сказать про $-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$ и $\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$ — они симметричны друг другу относительно начала координат или, другими словами, можно сказать, что они лежат на одном диаметре. Если идти по нашей окружности, то расстояние между ними будет равно $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$, а это значит, что если мы возьмем точку $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$, а потом шагнем от нее на $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$, то получим точку $-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$. Потом еще шагнем на $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$ — снова попадем в точку $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$, но уже $+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$. И так постоянно прибавляя $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$, мы охватим все точки вида $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$ и $-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ k}$. Таким образом, мы можем записать эти корни уравнения в виде одного множества:

\[\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\pi k\]

Теперь разберемся со вторым набором. Тут все то же самое:\[-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k\]. Таким образом, мы можем просто спереди поставить ±, и это будет наш окончательный ответ:

\[x=\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k\]

Вместо четырех множеств (или двух) мы получили всего одно множество. В этом и состоит смысл симметрии корней. В дальнейшем, когда нам нужно будет что-то сделать с этими корнями, мы уже будем работать не с 4 наборами, а всего лишь с двумя.

Пример №2

\[{{\sin }^{2}}x=1\]

Опять же используем наши выкладки и избавляемся от квадрата:

\[\sin x=1\]

\[x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

И второе уравнение:

\[\sin x=-1\]

\[x=-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}\text{+}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k\]

Отмечаем эти числа на тригонометрической окружности: 

Из рисунка становится очевидно, что эти точки лежат на одном диаметре — он является осью $Oy$, осью синусов. Это значит, чтобы получить из\[\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]\[-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k\], достаточно шагнуть из точки $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}$ до $-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}$ на $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$. Таким образом мы объединяем два множества корней и получаем:

\[x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n˜˜˜˜˜˜\]

Пример №3

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1}{2}\]

Снова считаем по нашим выкладкам:

\[\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

\[x=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

\[x=\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

Переходим ко второму выражению:

\[\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[x=-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }l\]

\[x=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\left( -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }m\]

\[x=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }m\]

\[x=\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }m\]

Вот мы и получили четыре набора корней. Давайте отметим их:

Еще очень важно, что между $\frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}$ и $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ угол равен 90°. Также и между $\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ и $-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ угол равен 90°. Наконец, и между $\frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}$и $\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ угол тоже равен 90°. Это значит, что все четыре точки мы можем свести к одной точке вида\[\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n}{2}\].

На первый взгляд эта конструкция, все эти вычисления могут показаться очень сложными. Геометрический подход, действительно, понимают не все ученики. Однако стоит немного потренироваться, и вы будете щелкать квадратные уравнения как орешки. 

Ключевые моменты

Решая уравнения, квадратные относительно синуса или косинуса, вы постоянно будете натыкаться на громоздкие ответы, работать с которыми (например, для отбора корней) совершенно невозможно. Однако при желании можно значительно упростить эти конструкции. И сегодня мы поговорим о двух методах упрощения:

  1. Графический — отмечаем ответы на тригонометрическом круге и пытаемся найти закономерности.
  2. Алгебраический — переходим от квадратного уравнения к линейному с помощью формул понижения степеней.

Вы можете использовать любой прием — ответ получится один и тот же. Кому-то (например, мне) удобнее отмечать точки на тригонометрическом круге, а кому-то проще раз и навсегда запомнить формулы понижения степени (которые, кстати, совсем несложные).

Симметрия корней на тригонометрическом круге

Тут все банально. Решаем равенство, отмечаем полученные корни на круге, а затем ищем какую-нибудь закономерность в их расположении. Например, корни могут отстоять друг от друга на половину исходного периода, либо располагаться симметрично относительно начала координат.

Формулы понижения степеней

Это уникальная фишка, которая работает только в тригонометрических уравнениях. Уравнения, квадратные относительно синуса или косинуса, легком сводятся к равносильным линейным. Все, что для этого потребуется — формулы косинуса двойного угла:

\[\cos 2x=2\cos 2\text{ }x-1;\]

\[\cos 2x=1-2\sin 2x.\] 

Смотрите также:
  1. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
  2. Учимся расщеплять ответы в тригонометрических уравнениях
  3. Основное тригонометрическое тождество
  4. Геометрическая вероятность
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 4 вариант
  6. Семинар по задачам B10: теория вероятностей