Вертикальные углы в геометрии

19 июня 2022

В двух словах: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых, не имеют общих сторон и всегда равны друг другу.

Содержание

Определение и примеры
Основная теорема
Комбинированные задачи

1. Определение и примеры

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.

На рисунке ниже пересекаются две прямые: $AB$ и $MN$:

В результате образуются две пары вертикальных углов: $\angle ASM$ и $\angle BSN$, а также $\angle ASN$ $\angle BSM$.

Обратите внимание: вертикальные углы образуются только в точке пересечении прямых. Например, углы $ASM$ и $BSN$ на картинке ниже — не вертикальные, даже если они равны:

Если в одной точке пересекается более двух прямых, то вертикальных углов становится очень много:

Я не случайно пометил вертикальные углы одинаковыми дугами. Дело в том, что верна следующая теорема.

2. Основная теорема

Теорема 1. Вертикальные углы всегда равны друг другу.

Доказательство. Рассмотрим «синие» вертикальные $ASN$ и $BSM$. Каждый из них является смежным с углом $BSN$:

Но сумма смежных углов равна 180°, и если $\angle BSN=\color{red}{x}$, то

\[\begin{align}\angle ASN&={180}^\circ -\color{red}{x} \\ \angle BSM&={180}^\circ -\color{red}{x} \end{align}\]

Итак, вертикальные углы равны одной и той же величине. Т.е. они равны между собой.

Эта теорема позволяет решать огромное количество задач — от самых простых до весьма нетривиальных. Начнём с простых.

Задача 1. Найдите углы 2, 3 и 4, если $\angle 1={134}^\circ $.

Решение.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $\angle 3=\angle 1={134}^\circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

\[\begin{align}\angle 1+\angle 2&={180}^\circ \\ \angle 2&={180}^\circ -\angle 2= \\ &={180}^\circ -{134}^\circ ={46}^\circ \end{align}\]

Углы 2 и 4 вертикальные, поэтому они равны: $\angle 4=\angle 2={46}^\circ $.

Из всех чертежей видно, что при пересечении двух прямых обычно возникает два острых угла и два тупых. Причём острый и тупой угол всегда будут смежными.

Если предположить, что острый угол равен $\color{red}{x}$ градусов, то тупой равен $180-\color{red}{x}$ градусов.

Задача 2. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 68°.

Решение. Пусть острые углы содержат $\color{red}{x}$ градусов. Тогда смежные с ними тупые углы содержат по ${180}^\circ -\color{red}{x}$ градусов.

По условию задачи, разность двух углов равна 68°. Очевидно, речь идёт о смежных углах. Потому что разность вертикальных углов была бы равна нулю. Вычитаем из тупого угла острый и получаем:

\[\begin{align}{180}^\circ -\color{red}{x} -\color{red}{x} &={68}^\circ\\ 2\color{red}{x}&={112}^\circ\\ \color{red}{x}&={56}^\circ\end{align}\]

Итак, острые углы содержат по 56°. Тогда тупые углы содержат по 124°.

Единственный случай, когда все вертикальные углы равны — это когда прямые перпендикулярны, т.е. пересекаются под углом 90°.

Задача 3. На рисунке прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, $\angle \color{red}{1}={36}^\circ $. Найдите углы 2, 3 и 4.

Решение.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $\angle \color{red}{3}=\angle \color{red}{1}={36}^\circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

\[\begin{align}\angle \color{red}{1}+\angle \color{blue}{2}&={180}^\circ \\ \angle \color{blue}{2}&={180}^\circ -\angle \color{red}{1}= \\ &={180}^\circ -{36}^\circ ={144}^\circ \end{align}\]

Углы 3 и 4 вместе образуют прямой угол, поэтому их сумма равна 90°:

\[\begin{align}\angle \color{red}{3}+\angle \color{green}{4}&={90}^\circ \\ \angle \color{green}{4}&={90}^\circ -\angle \color{red}{3}= \\ &={90}^\circ -{36}^\circ ={54}^\circ \end{align}\]

Перед тем как переходить к более сложным задачам, рассмотрим ещё одно интересное свойство вертикальных углов.

Теорема 2. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть $SC$ и $SD$ — биссектрисы вертикальных углов $ASM$ и $BSN$ соответственно.

Допустим, градусные меры углов $ASM$ и $BSN$ равны $2\color{red}{x}$. Тогда градусные меры всех маленьких углов $ASC$, $BSD$ и т.д. равны $\color{red}{x}$. Но тогда

\[\begin{align}\angle CSD&=\angle CSA+\angle ASN+\angle NSD= \\ &=2\color{red}{x}+\angle ASN \end{align}\]

С другой стороны, углы $ASN$ и $ASM=2\color{red}{x}$ смежные, поэтому

\[2\color{red}{x}+\angle ASN={180}^\circ \]

Итак, угол $\angle CSD={180}^\circ $, т.е. является развёрнутым. А это как раз и означает, что лучи $SC$ и $SD$ являются дополнительными друг другу и образуют прямую.

3. Комбинированные задачи

Рассмотрим несколько более сложных задач. Тут встречаются вертикальные углы, смежные углы, а также перпендикуляры.

Задача 4. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

Сумма двух из них равна 110°.

Сумма трёх из них равна 308°.

Решение. Для обоих пунктов будем использовать один и тот же чертёж. Пусть острые вертикальные углы содержат по $\color{red}{x}$ градусов, тогда два других угла содержат по ${180}^\circ -\color{red}{x}$ градусов:

1. Если сумма двух углов равна 110°, то, очевидно, речь идёт о вертикальных углах. Потому что сумма смежных углов всегда равна 180°, а не 110°.

Кроме того, это явно острые углы, иначе их сумма была бы больше 180°. Поэтому

\[\begin{align}\color{red}{x}+\color{red}{x}&={110}^\circ\\ 2\color{red}{x}&={110}^\circ\\ \color{red}{x}&={55}^\circ\end{align}\]

Итак, острые вертикальные углы содержат по 55°. Следовательно, смежные с ними тупые вертикальные углы содержат по 125°.

2. Сумма трёх углов всегда содержит два вертикальных и один смежный с ними. Например, так:

Зелёным пунктиром обозначены три угла, участвующие в сумме. Следовательно, эта сумма равна

\[\begin{align}\left( {180}^\circ -\color{red}{x} \right)+\color{red}{x}+\left( {180}^\circ -\color{red}{x} \right)&={308}^\circ \\ {360}^\circ -\color{red}{x}&={308}^\circ\\ \color{red}{x}&={52}^\circ\end{align}\]

Итак, углы равны 52° и 128°.

Эту задачу можно решить по-разному. Взгляните ещё раз на чертёж:

Мы знаем, что «большой зелёный угол» содержит 308°. А «полный оборот» содержит 360°. Но чтобы получить полный оборот, нужно добавить к зелёному сектору небольшой угол $\color{red}{x}$. Поэтому

\[\begin{align}{308}^\circ +\color{red}{x}&={360}^\circ\\ \color{red}{x}&={52}^\circ\end{align}\]

Возможно, такой подход покажется вам более простым и «очевидным».

Заметьте: благодаря введённым обозначениям нам даже не потребовались буквы для обозначения углов.:)

Задача 5. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 250°. Докажите, что эти углы вертикальные.

Решение. Пусть тупой угол $ACN$ содержит $\color{blue}{x}$ градусов. Тогда смежный с ним угол $BCN$ содержит ${180}^\circ -\color{blue}{x}$ градусов, а вертикальный угол $BCM$ тоже равен $\color{blue}{x}$ градусов:

Но тогда

\[\angle ACN+\angle BCN={180}^\circ \ne {250}^\circ \]

И это вполне логично, поскольку сумма смежных углов всегда равна 180°. То же самое можно сказать, например, про углы $ACN$ и $ACM$ — они тоже смежные.

Остаётся лишь вариант вертикальных углов $ACN$ и $BCM$. Но эти углы вертикальные, что и требовалось доказать.

В последнем задании мы построили чертёж исходя из следующих соображений. Если искомые углы вертикальные (а именно это мы и пытаемся доказать), то они равны, и каждый из них будет равен 125°. Следовательно, речь идёт о тупых углах, поэтому именно тупые углы мы обозначили за $x$.

Помните: в геометрии важно построить правильный чертёж. И чем сложнее задачи, тем выше требования к качеству чертежей. Иначе на можно просто «не увидеть» алгоритм решения задачи.

Кроме того, в следующих уроках мы будем всё чаще отождествлять углы и их градусные меры. Абсолютно нормально писать и говорить «угол $ABC$ равен $x$» вместо «угол $ABC$ содержит $x$ градусов» — все прекрасно поймут, о чём речь.

Смотрите также: