Грамотное умножение и деление рациональных дробей — 8 класс

16 сентября 2015

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

  1. Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
  2. С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
  3. Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят». Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.

Формулы для решения задач

Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:

В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.

Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:

\[a{{x}^{2}}+bx+c=0\to a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=0\]

${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.

С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.

Задача № 1

\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.

Преобразуем каждое выражение в точный куб:

\[27{{a}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{a}^{3}}={{\left( 3a \right)}^{3}}\]

\[64{{b}^{3}}={{4}^{3}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( 4b \right)}^{3}}\]

Перепишем числитель:

\[{{\left( 3a \right)}^{3}}-{{\left( 4b \right)}^{3}}=\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)\]

Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:

\[{{b}^{2}}-4={{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)\]

Теперь посмотрим на вторую часть выражения:

Числитель:

\[9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}={{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}\]

Осталось разобраться со знаменателем:

\[{{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left( b+2 \right)}^{2}}\]

Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:

\[\frac{\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)}{\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left( b+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}\]

Нюансы умножения рациональных дробей

Ключевой вывод из этих построений следующий:

Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]

В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.

Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:

\[3-6x=3\left( 1-2x \right)\]

Теперь посмотрим на знаменатель:

\[2{{x}^{2}}+4x+8=2\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:

\[{{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}\]

Идем к третьей дроби. Числитель:

\[8-{{x}^{3}}={{2}^{3}}-{{x}^{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2\cdot x+{{x}^{2}} \right)\]

Разберемся со знаменателем последней дроби:

\[4{{x}^{2}}-1={{\left( 2x \right)}^{2}}-{{1}^{2}}=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\]

Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:

\[\frac{3\left( 1-2x \right)}{2\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{-3}{2\left( 2-x \right)}=-\frac{3}{2\left( 2-x \right)}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}\]

Нюансы решения

Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную. Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно. В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.

Задача № 3

\[\frac{{{a}^{2}}+ab}{5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Разберем первую часть:

\[{{a}^{2}}+ab=a\left( a+b \right)\]

\[5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b=5\left( a-b \right)-\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=\]

\[=5\left( a-b \right)-\left( a-b \right)\left( a+b \right)=\left( a-b \right)\left( 5-1\left( a+b \right) \right)=\]

\[=\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)\]

Давайте перепишем исходное выражение:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Теперь разберемся со второй скобкой:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a={{a}^{2}}-10a+25-{{b}^{2}}=\left( {{a}^{2}}-2\cdot 5a+{{5}^{2}} \right)-{{b}^{2}}=\]

\[={{\left( a-5 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)\]

Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\]

Теперь перепишем всю нашу конструкцию:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)}{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}=\frac{a\left( b-a+5 \right)}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Нюансы решения

С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.

Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.

Задача № 4

\[\left( {{x}^{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left( \frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9} \right)\]

Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:

\[{{x}^{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+{{3}^{3}}}{x}=\]

\[=\frac{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\]

Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:

\[D=9-4\cdot 9<0\]

Он на множители не раскладывается, поэтому запишем следующее:

\[\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9}=\frac{{{x}^{2}}-3x+9+x+3}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}\]

Числитель выпишем отдельно:

\[{{x}^{2}}-2x+12=0\]

\[D=4-4\cdot 12<0\]

Следовательно, этот многочлен на множители не раскладывается.

Максимум, что мы могли сделать и разложить, мы уже сделали.

Итого переписываем нашу исходную конструкцию и получаем:

\[\frac{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\cdot \frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{x}\]

Все, задача решена.

Если честно, это была не такая уж и сложная задача: там все легко раскладывалось на множители, быстро приводились подобные слагаемые, и все красиво сокращалось. Поэтому сейчас давайте попробуем решить задачку посерьезней.

Задача № 5

\[\left( \frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Сначала давайте разберемся с первой скобкой. С самого начала разложим на множители знаменатель второй дроби отдельно:

\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\]

\[=\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

\[=\frac{x\left( x-2 \right)+{{x}^{2}}+8-\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Теперь поработаем со второй дробью:

\[\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}+2\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}\]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и записываем:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ключевые моменты

Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:

  1. Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
  2. Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
  3. Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
  4. В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.

Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами! 

Смотрите также:
  1. Учимся упрощать рациональные выражения и дроби с помощью формул сокращённого умножения.
  2. Дробно-рациональные выражения
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
  6. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности