Иррациональные неравенства: нестандартные случаи

9 мая 2014

В этом уроке мы рассмотрим два очень похожих иррациональных неравенства. Однако ответы в них будут принципиально различаться.

И если с первым неравенством у большинства учеников не возникает никаких проблем, то вторую задачу многие (даже старшеклассники!) решить не смогут.

Сегодняшний видеоурок будет, с одной стороны, очень простым, а, с другой стороны, очень важным, потому что на тот материал, который мы сегодня рассмотрим, почему-то, не обращается внимание в школьной программе. Однако именно на знание и четкое понимание этих фактов рассчитано большинство самостоятельных и контрольных работ. И, конечно, без знания того, о чем мы сегодня поговорим, вам будет крайне проблематично сдать любой, хоть сколь-нибудь серьезный экзамен по математике. Итак, речь пойдет о сложных неравенствах с радикалами.

Решаем реальные примеры неравенств с радикалами

Пример № 1

Под «сложным» я подразумеваю такое, которое состоит из двух частей, из двух множителей. Один из этих множителей является обычной квадратичной функцией, а вот второй является корнем. Именно отсюда и название - «неравенства с радикалами». Итак, давайте попробуем решить первое из них:

(5x+24−x2)x2−5x−14≥0\left( 5x+24-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}-5x-14}\ge 0

В одном из предыдущих видеоуроков я рассказывал, что если перед нами конструкция, содержащая радикалы, т.е. f(x)g(x)≥0f\left( x \right)\cdot \sqrt{g\left( x \right)}\ge 0, то при решении такого неравенства мы можем избавиться от корня, предварительно убедившись, что он отличен от нуля. Другими словами, давайте, в первую очередь, еще до каких-либо преобразований, до каких-либо методов интервалов обязательно будем смотреть, при каких условиях подкоренная конструкция равна нулю. Давайте сейчас это и выпишем:

x2−5x−14=0

{{x}^{2}}-5x-14=0

Полученное квадратное уравнение легко решается как через дискриминант, так и через теорему Виета. Однако я предлагаю еще более хитрый способ: давайте заметим, что поскольку любая конструкция вида x2+bx+c=(x−x0)(x−x1){{x}^{2}}+bx+c=(x-{{x}_{0}})(x-{{x}_{1}}), то мы сразу можем записать наш многочлен как произведение двух множителей. На месте x0{{x}_{0}} и x1{{x}_{1}} стоят значения, произведение которых равно четырнадцати, а сумма равна пяти, без всяких изменений знаков. Мы считаем не корни, а числа, которые будут стоять внутри скобок. Очевидно, что это -7 и 2. Давайте так и запишем:

( − 7) ( + 2) = 0

\left( \text{ }-\text{ }7 \right)\text{ }\left( \text{ }+\text{ }2 \right)\text{ }=\text{ }0

Чтобы понять, почему перед 7 стоит «минус», а перед 2 —«плюс», просто посмотрите: -5 — отрицательное, следовательно, наибольшее по модулю из этих двух чисел должно быть именно отрицательным. Если бы мы поставили 7 и -2, то в сумме они давали бы 5, а не -5. А в произведении они очевидно дают -14. Находим xx:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\text{ }=\text{ }7 \\\text{ }=\text{ }-2 \\\end{array}\]

Что дают нам эти числа? На самом деле, это уже кусочек ответа. Судите сами: в нашей задаче требуется найти все xx, когда выражения больше или равно 0. Однако, если подкоренная конструкция равна 0, то в этом случае сам xx также обращается в 0. А если ноль умножить на какой-то квадратный трехчлен, все равно будет 0. Следовательно, сейчас мы уже нашли часть ответа: x=7x=7 и x=2x=2.

Идем далее и предположим, что

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\text{ }\ne \text{ }7 \\\text{ }\ne \text{ }-2 \\\end{array}\]

В этом случае под знаком радикала стоит число, отличное от 0 и, следовательно сам корень также отличен от 0. А это значит, что мы можем разделить обе части этого неравенства на значение, которое получили. При этом знак неравенства не поменяется, просто потому что корень является неотрицательным числом, а при соблюдении описанных выше условий и вовсе положительным. Давайте так и запишем:

f(x)>05x+24−x2≥0(−1)x2−5x−24≤0\begin{align}& \sqrt{f\left( x \right)}>0 \\& 5x+24-{{x}^{2}}\ge 0\left( -1 \right) \\& {{x}^{2}}-5x-24\le 0 \\\end{align}

Перед нами приведенное квадратное уравнение и можем разложить его на скобки точно так же, как и в прошлый раз. Нам нужно найти два таких значения, которые в произведении дают 24, а в сумме дают -5. Очевидно, это числа -8 и 3, т. е. мы можем записать следующее:

( − 8) ( + 3) ≤ 0

\left( \text{ }-\text{ }8 \right)\text{ }\left( \text{ }+\text{ }3 \right)\text{ }\le \text{ }0

Перед нами неравенство, которое уже не имеет знака радикала и очень легко решается методом интервалов. Давайте начертим прямую и отметим на ней нули выражений, стоящих в скобках: 

Отмечаем знаки. Для этого берем любое число, большее 8. Первым знаком будет «плюс». Далее знаки везде меняются, поскольку корней четной кратности нет. Атак как от нас требуется найти значение функции меньше ли равно 0, то нас интересует интервал [−3;8][-3;8].

Однако если мы запишем в ответе [−3;8][-3;8], то мы получим за такую задачу 0 баллов, потому что мы не учли область определения радикала. Необходимость определения корня возникает на том шаге, когда мы делим на корень. Дело в том, что исходное неравенство содержало в себе корень и, следовательно, содержало в себе все ограничения, накладываемые на подкоренное значение. А во втором выражении никаких дополнительных ограничений нет, следовательно, мы должны проверить их отдельно. Подкоренное выражение должно быть больше или равно 0:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\left( \text{ }-\text{ }7 \right)\text{ }\left( \text{ }+\text{ }2 \right)\text{ }\ge \text{ }0 \\\text{ }=\text{ }7 \\\text{ }=\text{ }-2 \\\end{array}\]

Отметим эти точки на параллельной прямой к тому, что мы уже отметили:

 

Мы можем записать:

[−3; −2][7; 8]

\in \left[ -3;\text{ }-2 \right]\cup \left[ 7;\text{ }8 \right]

Это уже с учетом области определения. Кроме того, заметим, что значения, которые мы отмечали в самом начале, также входят в наше множество, следовательно, это множество является окончательным ответом. Все, наше неравенство с радикалами решено.

Пример № 2

Переходим ко второму примеру, который содержит радикал:

(x2−3x+8)x2−x−56≤0\left( {{x}^{2}}-3x+8 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-x-56}\le 0

Первый шаг абсолютно идентичен предыдущему неравенству: мы выписываем подкоренное выражение и приравниваем его к 0:

x2−x−56=0

{{x}^{2}}-x-56=0

Это приведенное квадратное уравнение, раскладываем его на множители согласно той же технологии, которую мы сегодня изучали:

( − 8) ( + 7) = 0

\left( \text{ }-\text{ }8 \right)\text{ }\left( \text{ }+\text{ }7 \right)\text{ }=\text{ }0

Итого, таким способом мы разложили квадратный трехчлен на множители и теперь можем найти иксы:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\text{ }=\text{ }7 \\\text{ }=\text{ }8 \\\end{array}\]

Как и в прошлый раз, полученные числа уже являются частью итогового результата. И вот на этом этапе у многих учеников возникает вопрос: а зачем вообще учитывать эти числа, ведь они все равно войдут в итоговый ответ?

Итак, решаем подкоренное выражение с предположением, что

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\text{ }\ne \text{ }8 \\\text{ }\ne \text{ }-7 \\\end{array}\]

В этом случае получим довольно простую конструкцию:

x2−3x+8≤0

{{x}^{2}}-3x+8\le 0

Поскольку данное неравенство не раскладывается с первого взгляда на множители с помощью теоремы Виета и с помощью того приема, который мы сегодня разобрали, давайте решать его методом интервалов с помощью дискриминанта. Итак:

D= 9 − 4 ⋅ 8 = 9 − 32 = −23

D=\text{ }9\text{ }-\text{ }4\text{ }\cdot \text{ }8\text{ }=\text{ }9\text{ }-\text{ }32\text{ }=\text{ }-23

Мы получили, что дискриминант отрицательный. Прекрасно, иксов нет.

Немного теории

С точки зрения алгебры это означает, что наша парабола, направлена ветвями вверх, нигде не пересекает ось OxOx. Следовательно, во всех своих точках она лежит в положительной полуплоскости. Но тогда получается, что данное неравенство вообще не имеет ответа. Другими словами, убрав радикал из исходного неравенства, мы получили конструкцию, которая имеет пустое множество решений. И как раз в этой ситуации кроется ответ на вопрос, который я озвучил в самом начале решения это неравенства.

Дело в том, что, не выполняя проверки, т.е. не изучая тот случай, когда подкоренное выражение равно 0, легко не заметить и записать в ответе, что в исходном неравенстве корней нет. Но это неправда, потому что они есть, и их, как минимум, два — мы их только что нашли.

Таким образом, незначительная деталь оказалась в итоге очень важной, потому что дискриминант нашей функции меньше 0. Таким образом, еще раз обращаю ваше внимание: если вы собираетесь разделить неравенство на конструкцию с радикалом, содержащую корень, обязательно предварительно убедитесь, что подкоренное выражение отлично от 0. А все нули этого подкоренного значения автоматически записываются в кандидаты на ответ при условии, что неравенство является нестрогим.

И вообще, вспомните, что такое нестрогое неравенство. Когда мы пишем что-то из разряда f≤g, это означает, что в ответе мы должны указать сразу два множества, объединенных в одно. С одной стороны, мы решаем неравенство\[f

Ключевые моменты

В заключении хотел бы еще раз пробежаться по всем ключевым моментам сегодняшнего видеоурока:

  1. Подкоренное выражение нужно приравнивать к 0 и проверять, не являются ли полученные значения решениями исходного неравенства.
  2. Мы можем убирать эти корни, после того как убедимся, что подкоренные выражения отличны от 0, и полученные неравенства решать по стандартным методикам, например, методом интервалов. Однако и здесь есть один опасный подводный камень. Дело в том, что избавляясь от радикала (например, в первой неравенстве), мы расширяем область определения нашего выражения. Таким образом, чтобы не допустить в ответе лишних значений, в полученном после удаления иррациональной функции выражении необходимо обязательно добавить область определения исходного корня. С одной стороны, это может привести к существенному сокращению итогового ответа, а с другой — избавит вас от обидных ошибок, которые допускаются практически на пустом месте. Ведь подкоренную функцию мы уже приравнивали к 0, а, следовательно, для решения соответствующего неравенства очень удобно использовать метод интервалов, что мы и сделали в конце решения первого неравенства с радикалом.

Надеюсь, данный урок поможет вам не допускать глупых и обидных ошибок при решении неравенств, которые содержат в себе радикалы.  

Смотрите также:
  1. Иррациональные неравенства. Часть 2
  2. Иррациональные неравенства. Часть 1
  3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
  4. Задача B15 — исследование функции с помощью производной
  5. Что такое ЕГЭ по математике 2012
  6. Задачи на проценты: формула, упрощающая вычисления