Стандартный вид числа

21 августа 2011

Любая десятичная дробь может быть записана в виде a,bc... · 10k. Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись — это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.

Для начала — небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:

Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100.

Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

  1. Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);
  2. Умножаем: 2581 · 1 = 2581;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1.

Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

  1. Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);
  2. Умножаем: 5 · 1 = 5;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05.

Последнее выражение: 8,0034 · 100.

  1. Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);
  2. Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34.

Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

  1. 25,81 · 101 = 258,1;
  2. 0,00005 · 103 = 0,05;
  3. 8,0034 · 102 = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10k (где k > 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо — ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение на 10k (где k > 0) равносильно делению на 10k, т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008 : 10; 1,447 : 100;

Во всех выражениях второе число — степень десятки, поэтому имеем:

  1. 2,73 · 10 = 2,73 · 101 = 27,3;
  2. 25,008 : 10 = 25,008 : 101 = 25,008 · 10−1 = 2,5008;
  3. 1,447 : 100 = 1,447 : 102 = 1,447 · 10−2 = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 101 = 1,3725 · 102 = 0,13725 · 103 = ...

Стандартный вид числа — это выражения вида a,bc... · 10k, где a, b, c, ... — обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k — целое.

Примеры:

  1. 8,25 · 104 = 82 500;
  2. 3,6 · 10−2 = 0,036;
  3. 1,075 · 106 = 1 075 000;
  4. 9,8 · 10−6 = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.

Переход к стандартному виду

Алгоритм перехода от обычной десятичной дроби к стандартному виду очень прост. Но перед тем как его использовать, обязательно повторите, что такое значащая часть числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»). Итак, алгоритм:

  1. Выписать значащую часть исходного числа и поставить после первой значащей цифры десятичную точку;
  2. Найти образовавшийся сдвиг, т.е. на сколько разрядов сместилась десятичная точка по сравнению с исходной дробью. Пусть это будет число k;
  3. Сравнить значащую часть, которую мы выписали на первом шаге, с исходным числом. Если значащая часть (с учетом десятичной точки) меньше исходного числа, дописать множитель 10k. Если больше — дописать множитель 10−k. Это выражение и будет стандартным видом.

Задача. Запишите число в стандартном виде:

  1. 9280;
  2. 125,05;
  3. 0,0081;
  4. 17 000 000;
  5. 1,00005.
  1. 9280 → 9,28. Сдвиг десятичной точки на 3 разряда влево, число уменьшилось (очевидно, 9,28 < 9280). Результат: 9,28 · 103;
  2. 125,05 → 1,2505. Сдвиг — на 2 разряда влево, число уменьшилось (1,2505 < 125,05). Результат: 1,2505 · 102;
  3. 0,0081 → 8,1. В этот раз сдвиг произошел вправо на 3 разряда, поэтому число увеличилось (8,1 > 0,0081). Результат: 8,1 · 10−3;
  4. 17000000 → 1,7. Сдвиг — на 7 разрядов влево, число уменьшилось. Результат: 1,7 · 107;
  5. 1,00005 → 1,00005. Сдвига нет, поэтому k = 0. Результат: 1,00005 · 100 (бывает и такое!).

Как видите, в стандартном виде представляются не только десятичные дроби, но и обычные целые числа. Например: 812 000 = 8,12 · 105; 6 500 000 = 6,5 · 106.

Когда применять стандартную запись

По идее, стандартная запись числа должна сделать дробные вычисления еще проще. Но на практике заметный выигрыш получается только при выполнении операции сравнения. Потому что сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:

  1. Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;
  2. Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры — как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;
  3. Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.

Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.

Замечательно свойство дробей, записанных в стандартном виде, заключается в том, что к их значащей части можно приписывать любое количество нулей — как слева, так и справа. Аналогичное правило существует для других десятичных дробей (см. урок «Десятичные дроби»), но там есть свои ограничения.

Задача. Сравните числа:

  1. 8,0382 · 106 и 1,099 · 1025;
  2. 1,76 · 103 и 2,5 · 10−4;
  3. 2,215 · 1011 и 2,64 · 1011;
  4. −1,3975 · 103 и −3,28 · 104;
  5. −1,0015 · 10−8 и −1,001498 · 10−8.
  1. 8,0382 · 106 и 1,099 · 1025. Оба числа положительные, причем у первого степень десятки меньше, чем у второго (6 < 25). Значит, 8,0382 · 106 < 1,099 · 1025;
  2. 1,76 · 103 и 2,5 · 10−4. Числа снова положительные, причем степень десятки у первого из них больше, чем у второго (3 > −4). Следовательно, 1,76 · 103 > 2,5 · 10−4;
  3. 2,215 · 1011 и 2,64 · 1011. Числа положительные, степени десятки совпадают. Смотрим на значащую часть: первые цифры тоже совпадают (2 = 2). Различие начинается на второй цифре: 2 < 6, поэтому 2,215 · 1011 < 2,64 · 1011;
  4. −1,3975 · 103 и −3,28 · 104. Это отрицательные числа. У первого степень десятки меньше (3 < 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 103 > −3,28 · 104;
  5. −1,0015 · 10−8 и −1,001498 · 10−8. Снова отрицательные числа, причем степени десятки совпадают. Также совпадают и первые 4 разряда значащей части (1001 = 1001). На 5 разряде начинается отличие, а именно: 5 > 4. Поскольку исходные числа отрицательные, заключаем: −1,0015 · 10−8 < −1,001498 · 10−8.
Смотрите также:
  1. Тест на тему «Значащая часть числа»
  2. Умножение и деление десятичных дробей
  3. Приведение дробей к общему знаменателю
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2014: 3 вариант
  6. Задача B5: вычисление площади методом обводки