Как считается производная произведения и производная частного

3 февраля 2015

В этом уроке мы продолжаем изучать производные функций и переходим к более сложной теме, а именно, к производным произведения и частного. Если вы смотрели предыдущий урок, то наверняка поняли, что мы рассматривали лишь самые простые конструкции, а именно, производную степенной функции, суммы и разности. В частности, мы узнали, что производная суммы равна их сумме, а производная разности равна, соответственно, их разности. К сожалению, в случае с производными частного и произведения формулы будут гораздо сложнее. Начнем мы именно с формулы производной произведения функций.

Производные тригонометрических функций

Для начала позволю себе небольшое лирическое отступление. Дело в том, что помимо стандартной степенной функции — $y={{x}^{n}}$, в этом уроке будут встречаться и другие функции, а именно, $y=\sin x$, а также $y=\cos x$ и прочая тригонометрия — $y=tgx$ и, разумеется, $y=ctgx$.

Если производную степенной функции мы все прекрасно знаем, а именно $\left( {{x}^{n}} \right)=n\cdot {{x}^{n-1}}$, то, что касается тригонометрических функций, нужно упомянуть отдельно. Давайте запишем:

\[\begin{align}& {{\left( \sinx \right)}^{\prime }}=\cosx \\& {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\& {{\left( tgx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\& {{\left( ctgx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Но эти формулы вы прекрасно знаете, давайте пойдем дальше.

Что такое производная произведения?

Для начала самое главное: если функция представляет собой произведение двух других функций, например, $f\cdot g$, то производная этой конструкции будет равна следующему выражению:

\[{{\left( f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}'\cdot g+f\cdot {g}'\]

Как видите, эта формула значительно отличается и является более сложной, нежели те формулы, которые мы рассматривали ранее. Например, производная суммы считается элементарно —${{\left( f+g \right)}^{\prime }}={f}'+{g}'$, либо производная разности, которая тоже элементарно считается ― ${{\left( f-g \right)}^{\prime }}={f}'-{g}'$.

Давайте попробуем применить первую формулу для вычисления производных двух функций, которые нам даны в задаче. Начнем с первого примера:

\[y={{x}^{3}}\left( x-5 \right)\]

Очевидно, что в качестве произведения, точнее, в качестве множителя, выступает следующая конструкция: ${{x}^{3}}$, мы можем рассматривать в качестве $f$, а $\left( x-5 \right)$ мы можем рассматривать в качестве $g$. Тогда их произведение как раз и будет произведением двух функций. Решаем:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{3}}\cdot \left( x-5 \right) \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}\cdot \left( x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot {{\left( x-5 \right)}^{\prime }}= \\& =3{{x}^{2}}\cdot \left( x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot 1 \\\end{align}\].

Теперь давайте внимательно посмотрим на каждое из наших слагаемых. Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом присутствует степень $x$: в первом случае это ${{x}^{2}}$, а во втором — ${{x}^{3}}$. Давайте вынесем наименьшую степень за скобки, в скобке останется:

\[\begin{align}& 3{{x}^{2}}\cdot \left( x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot 1={{x}^{2}}\left( 3\cdot 1\left( x-5 \right)+x \right)= \\& ={{x}^{2}}\left( 3x-15+x \right)={{x}^{2}}(4x-15) \\\end{align}\]

Все, мы нашли ответ.

Возвращаемся к нашим задачам и попробуем решить:

\[f\left( x \right)=x\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\]

Итак, переписываем:

\[f\left( x \right)=x\cdot \left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\]

Опять же замечаем, что речь идет о произведении произведения двух функций: $x$, которую можно обозначить за $f$, и $\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)$, которую можно обозначить за $g$.

Таким образом, перед нами вновь произведение двух функций. Для нахождения производной функции $f\left( x \right)$ вновь воспользуемся нашей формулой. Получим:

\[\begin{align}& {f}'=\left( x \right)'\cdot \left( \sqrt[3]{x}-1 \right)+x\cdot {{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)}^{\prime }}=1\cdot \left( \sqrt[3]{x}-1 \right)+x\frac{1}{3\sqrt[3]{x}}= \\& =\sqrt[3]{x}-1+\sqrt[3]{x}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}-1 \\\end{align}\]

Ответ найден.

Зачем раскладывать производные на множители?

Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.

Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.

Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.

По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются. Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n-ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.

Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени.

А теперь, когда вы все это поняли, давайте вернемся к производным произведения и посчитаем еще несколько уравнений.

Но прежде чем переходить непосредственно к вычислениям, хотел бы напомнить такие закономерности:

\[\begin{align}& {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=\cos x \\& {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\& \left( tgx \right)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\& {{\left( ctgx \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Считаем первый пример:

\[y={{x}^{4}}\cdot \sin x\]

У нас опять произведение двух функций: первая ― $f$, вторая ― $g$. Напомню формулу:

\[{{\left( f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}'\cdot g+f\cdot {g}'\]

Давайте решим:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( {{x}^{4}} \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+{{x}^{4}}\cdot {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}= \\& =3{{x}^{3}}\cdot \sin x+{{x}^{4}}\cdot \cos x={{x}^{3}}\left( 3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end{align}\]

Переходим ко второй функции:

\[y=\left( 3x-2 \right)\cos x\]

Опять же, $\left( 3x-2 \right)$ ― это функция $f$, $\cos x$ ― это функция $g$. Итого производная произведения двух функций будет равна:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 3x-2 \right)}^{\prime }}\cdot \cos x+\left( 3x-2 \right)\cdot {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}= \\& =3\cdot \cos x+\left( 3x-2 \right)\cdot \left( -\sin x \right)=3\cos x-\left( 3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end{align}\]

Вот такое решение.

Идем далее и переходим к более сложным примерам. Для экономии времени я буду пропускать очевидные действия и буду писать лишь ключевые шаги. Итак:

\[y={{x}^{2}}\cos x+4x\sin x\]

Запишем:

\[{y}'={{\left( {{x}^{2}}\cdot \cos x \right)}^{\prime }}+{{\left( 4x\sin x \right)}^{\prime }}\]

Выпишем по отдельности:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{2}}\cdot \cos x \right)}^{\prime }}=\left( {{x}^{2}} \right)'\cos x+{{x}^{2}}\cdot {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}= \\& =2x\cdot \cos x+{{x}^{2}}\cdot \left( -\sin x \right)=2x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x \\\end{align}\]

На множители мы это выражение не раскладываем, потому что это еще не окончательный ответ. Сейчас нам предстоит решить вторую часть. Выписываем ее:

\[\begin{align}& {{\left( 4x\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={{\left( 4x \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+4x\cdot {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end{align}\]

А теперь возвращаемся к нашей изначальной задаче и собираем все в единую конструкцию:

\[\begin{align}& {y}'=2x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x+4\sin x \\\end{align}\]

Все, это окончательный ответ.

Переходим к последнему примеру ― он будет самым сложным и самым объемным по вычислениям. Итак, пример:

\[y={{x}^{2}}tgx-2xctgx\]

Считаем:

\[{y}'={{\left( {{x}^{2}}\cdot tgx \right)}^{\prime }}-{{\left( 2xctgx \right)}^{\prime }}\]

Считаем каждую часть отдельно:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{2}}\cdot tgx \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}\cdot tgx+{{x}^{2}}\cdot {{\left( tgx \right)}^{\prime }}= \\& =2x\cdot tgx+{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{\left( 2x\cdot ctgx \right)}^{\prime }}={{\left( 2x \right)}^{\prime }}\cdot ctgx+2x\cdot {{\left( ctgx \right)}^{\prime }}= \\& =2\cdot ctgx+2x\left( -\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=2\cdot ctgx-\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Возвращаясь к исходной функции, посчитаем ее производную в целом:

\[\begin{align}& {y}'=2x\cdot tgx+\frac{{{x}^{2}}}{{{\cos }^{2}}x}-\left( 2ctgx-\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac{{{x}^{2}}}{{{\cos }^{2}}x}-2ctgx+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать по производным произведения. Как видите, основная проблема формулы состоит не в том, чтобы ее заучить, а в том, что получается довольно большой объем вычислений. Но это нормально, потому что сейчас мы переходим к производной частного, где нам придется очень сильно потрудиться.

Что представляет собой производная частного?

Итак, формула производной частного. Пожалуй, это самая сложная формула в школьном курсе производных. Допустим, у нас есть функция вида $\frac{f}{g}$, где $f$ и $g$ ― также функции, с которых тоже можно снять штрих. Тогда она будет считаться по следующей формуле:

\[{{\left( \frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}'\cdot g-f\cdot {g}'}{{{g}^{2}}}\]

Числитель чем-то напоминает нам формулу производной произведения, однако между слагаемыми стоит знак «минус» и еще в знаменателе добавился квадрат исходного знаменателя. Давайте посмотрим, как это работает на практике:

\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+2}\]

Попытаемся решить:

\[{f}'={{\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{x+2} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}\cdot \left( x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\cdot {{\left( x+2 \right)}^{\prime }}}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\]

Предлагаю выписать каждую часть отдельно и записать:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{1}'=2x \\& {{\left( x+2 \right)}^{\prime }}={x}'+{2}'=1 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[\begin{align}& {f}'=\frac{2x\cdot \left( x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\cdot 1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}= \\& =\frac{2{{x}^{2}}+4x-{{x}^{2}}+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \\\end{align}\]

Мы нашли ответ. Переходим ко второй функции:

\[y=\frac{1}{{{x}^{2}}+4}\]

Судя по тому, что в ее числителе стоит просто единица, то здесь вычисления будут чуть проще. Итак, запишем:

\[{y}'={{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}+4} \right)}^{\prime }}=\frac{{1}'\cdot \left( {{x}^{2}}+4 \right)-1\cdot {{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\]

Посчитаем каждую часть примера отдельно:

\[\begin{align}& {1}'=0 \\& {{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{4}'=2x \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[{y}'=\frac{0\cdot \left( {{x}^{2}}+4 \right)-1\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}=-\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\]

Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.

В чем разница между обозначениями?

У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $f\left( x \right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $f\left( x \right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+2}\], мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $f\left( x \right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.

С другой стороны, используя обозначения вида\[y=\frac{1}{{{x}^{2}}+4}\], т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида\[y=\frac{1}{{{x}^{2}}+4}\], читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.

Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. Надеюсь, это понятно. Давайте посчитаем еще несколько примеров.

Несколько интересных задач

На этот раз, как мы видим, в составе вычисляемых производных присутствует тригонометрия. Поэтому напомню следующее:

\[\begin{align}& (sinx{)}'=\cos x \\& {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\\end{align}\]

Конечно, нам не обойтись и без производной частного, а именно:

\[{{\left( \frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}'\cdot g-f\cdot {g}'}{{{g}^{2}}}\]

Считаем первую функцию:

\[f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\]

Запишем:

\[\begin{align}& {f}'={{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}\cdot x-\sin x\cdot \left( {{x}'} \right)}{{{x}^{2}}}= \\& =\frac{x\cdot \cos x-1\cdot \sin x}{{{x}^{2}}}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

Вот мы и нашли решение этого выражения.

Переходим ко второму примеру:

\[y=\frac{x\sin x}{\cos x}\]

Очевидно, что ее производная будет более сложной уже хотя бы потому, что и в числителе, и в знаменателе данной функции присутствует тригонометрия. Решаем:

\[{y}'={{\left( \frac{x\sin x}{\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( x\sin x \right)}^{\prime }}\cdot \cos x-x\sin x\cdot {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}}{{{\left( \cos x \right)}^{2}}}\]

Заметим, что у нас возникает производная произведения. В этом случае она будет равна:

\[\begin{align}& {{\left( x\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={x}'\cdot \sin x+x{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}= \\& =\sin x+x\cos x \\\end{align}\]

Возвращаемся к нашим вычислениям. Записываем:

\[\begin{align}& {y}'=\frac{\left( \sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left( -\sin x \right)}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x\cdot \cos x+x{{\cos }^{2}}x+x{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x\cdot \cos x+x\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x\cdot \cos x+x}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Вот и все! Мы посчитали.

Как свести производную частного к простой формуле производной произведения?

И вот тут хотелось бы сделать одно очень важное замечание, касающееся именно тригонометрических функций. Дело в том, что наша исходная конструкция содержит в себе выражение вида $\frac{\sin x}{\cos x}$, которую легко можно заменить просто $tgx$. Таким образом, мы сведем производную частного к более простой формуле производной произведения. Вот давайте посчитаем этот пример еще раз и сравним результаты.

Итак, теперь нам нужно учесть следующее:

\[\frac{\sin x}{\cos x}=tgx\]

Перепишем нашу исходную функцию $y=\frac{x\sin x}{\cos x}$ с учетом этого факта. Получим:

\[y=x\cdot tgx\]

Давайте посчитаем:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( x\cdot tgx \right)}^{\prime }}{x}'\cdot tgx+x{{\left( tgx \right)}^{\prime }}=tgx+x\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x\cdot \cos x+x}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.

Важные нюансы при решении задач

В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:

\[y=\frac{48}{x}+3{{x}^{2}}+100\]

В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.

Итак, считаем эту производную. Прежде всего, заметим, что у нас присутствует слагаемое $3{{x}^{2}}$, поэтому уместно вспомнить следующую формулу:

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Кроме того, у нас присутствует слагаемое $\frac{48}{x}$ ― с ним мы будем разбираться через производную частного, а именно:

\[{{\left( \frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}'\cdot g-f\cdot {g}'}{{{g}^{2}}}\]

Итак, решаем:

\[{y}'={{\left( \frac{48}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+10{0}'\]

С первым слагаемым никаких проблем, смотрите:

\[{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3\cdot {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3k.2x=6x\]

А вот с первым слагаемым, $\frac{48}{x}$, нужно поработать отдельно. Дело в том, что многие ученики путают ситуацию, когда нужно найти ${{\left( \frac{x}{48} \right)}^{\prime }}$и когда нужно найти ${{\left( \frac{48}{x} \right)}^{\prime }}$. Т. е., они путаются, когда константа стоит в знаменателе, и когда константа стоит в числителе, соответственно, когда переменная стоит в числителе, либо в знаменателе.

Для начала проработаем первый вариант:

\[{{\left( \frac{x}{48} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{1}{48}\cdot x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{48}\cdot {x}'=\frac{1}{48}\cdot 1=\frac{1}{48}\]

С другой стороны, если мы попробуем аналогично поступить и со второй дробью, то получим следующее:

\[\begin{align}& {{\left( \frac{48}{x} \right)}^{\prime }}={{\left( 48\cdot \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=48\cdot {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}= \\& =48\cdot \frac{{1}'\cdot x-1\cdot {x}'}{{{x}^{2}}}=48\cdot \frac{-1}{{{x}^{2}}}=-\frac{48}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

Однако тот же самый пример можно было посчитать и иначе: на этапе, где мы переходили к производной частного, можно рассмотреть $\frac{1}{x}$ как степень с отрицательным показателем, т. е., мы получим следующее:

\[\begin{align}& 48\cdot {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=48\cdot {{\left( {{x}^{-1}} \right)}^{\prime }}=48\cdot \left( -1 \right)\cdot {{x}^{-2}}= \\& =-48\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}=-\frac{48}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

И так, и так мы получили один и тот же ответ.

Таким образом, мы еще раз убедились в двух важных фактах. Во-первых, одну и ту же производную можно посчитать совершенно различными способами. Например, ${{\left( \frac{48}{x} \right)}^{\prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.

На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.

Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.

Смотрите также:
  1. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
  2. Определение производной функции в терминах, доступных ученикам школ (т.е. это НЕ высшая математика)
  3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 8 (без производной)
  5. Репетитор по математике — индивидуальные занятия
  6. Задача B15: что делать с квадратичной функцией