Простейшие показательные уравнения

5 февраля 2012

Если взять обычную степень и «засунуть» в показатель переменную x , получим показательное уравнение. Таких уравнений великое множество, и для них есть собственные методы решения.

Сегодня мы познакомимся с простейшими конструкциями. Они так и называются — простейшие показательные уравнения (кэп?). Все остальные, как бы сложно они ни выглядели, в итоге сводятся к простейшим. Но это уже материал следующих уроков.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

a x = b , где a > 0, a ≠ 1

Такое уравнение не имеет корней при b ≤ 0, а при b > 0 имеет единственный корень: x = log a b . Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:

  1. Перевести все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4 x лучше писать 22 x , а вместо 0,01 x — вообще 10−2 x . Почему — узнаете из примеров;
  2. В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. Напомню: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются;
  3. Если все сделано правильно, получим уравнение вида a f ( x ) = a g ( x ), где a — просто число. Его можно отбросить, поскольку показательная функция монотонна. Получим уравнение f ( x ) = g ( x ), которое легко решается.

Помните, что корни — тоже степени, но с дробным основанием:

Корень - это степень с рациональным показателем

Задача. Решите уравнение:

Простейшее показательное уравнение

Итак, приведем все степени к основанию 2:

4 x = (22) x = 22 x ; 1 = 20; 256 = 28

Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:

Решение показательного уравнения

Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:

2 x = −8 ⇒ x = −4

Задача. Решите уравнение:

Еще одно показательное уравнение

Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:

92 x = (32)2 x = 34 x ; 1 = 30; 27 = 33

Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:

Решение показательного уравнения (линейная функция в показателе)

Осталось избавиться от основания степени:

4 x = −3 ⇒ x = −3/4 = −0,75

Задача. Решите уравнение:

Сложное показательное уравнение

В уравнении присутствуют сразу 4 множителя, которые надо перевести в степени с одинаковым основанием:

Переход от корней к степеням с рациональным показателем

Учитывая эти факты, перепишем исходное уравнение:

Преобразование исходного уравнения

Избавимся от основания — и после приведения дробей к общему знаменателю получим классическую пропорцию:

Избавляемся от степеней

Дальше все стандартно: произведение крайних элементов пропорции равно произведению средних. Имеем:

14 + 4 x − 4 = −35 ⇒ 4 x = −45 ⇒ x = −45 : 4 = −11,25

Ниже даны 12 тренировочных задач. Если что-то не получается — ничего страшного, потому что есть второй вариант этого теста (см. «Простейшие показательные уравнения — 2 вариант»). Попробуйте решить его.

Смотрите также:
  1. Тест: простейшие показательные уравнения (2 вариант)
  2. Показательные уравнения с логарифмами
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (средний)
  4. Комбинированные задачи B12
  5. Репетитор по математике как психолог
  6. Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариант