Так сокращать дроби нельзя!

1 марта 2012

Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики. Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.

Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:

Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?

Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:

Задача на проценты

Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:

Дробно-рациональное выражение

Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.

Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.

Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:

Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!

Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Вычисление дроби

Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.

Работа с пропорциями

Еще одно проблемное место — пропорции. Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:

Задача. Решите уравнение:

Дробно-рациональное уравнение

Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m:

Сокращение уравнения

Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.

А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение. Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:

Решение линейного уравнения

Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:

Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля.

Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля. В частности, можно делить на переменную m, только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:

Корень линейного уравнения

Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.

Выводы: собираем все вместе

Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:

  1. Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
  2. Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
  3. Уравнения можно умножать и делить только на числа k, отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.

Помните эти правила и не допускайте ошибок.

Смотрите также:
  1. Решение квадратных уравнений
  2. Теорема Виета
  3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
  4. Площади многоугольников на координатной сетке
  5. Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
  6. Иррациональные неравенства. Часть 2